투자비중 제약조건 변화에 따른 연기금의 자산배분*
Optimal Asset Allocation of Pension Funds with a Portfolio Constraint Change*
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Abstract
본 연구에서는 투자비중 제약조건이 법률이나 정책 등으로 규제되어 미래에 바뀔 수 있는 상황에서의 연기금의 자산배분 문제를 다루었다. 연기금의 적립비율을 고려한 효용함수를 사용함으로써 자산과 부채 모두를 고려한 연기금 펀드매니저의 최적 자산배분을 구하였다. 정책적으로 투자비중 제약 변화의 효과를 자산배분안을 통해 측정하기 위하여, 정책변경 등가수익률(policy change equivalent Return; PCER)을 정의하였고 이에 대한 계산식을 도출하였다. 수치적 분석을 통해, 투자비중 제약조건의 변화와 시장상황의 변화에 따라 PCER이 큰 절대값으로 도출될 수 있음을 확인함으로써 투자비중 제약조건의 변화를 자산배분 시 고려하는 것이 중요할 수 있음을 보였다. 기술적으로는, 펀드매니저의 최적투자전략과 효용에 대한 가치함수의 형태를 본 연구에서 일반적으로는 구하기 힘든 닫힌 해(Closed Form) 형태로 도출하였다는 점이 학술적 의의가 있다.
Trans Abstract
We investigated the asset allocation problem of a pension fund in which the constraints on the risky investment proportion change owing to local regulations or the fund’s policy changes. We assumed that the fund manager has a utility function with respect to the funding ratio of the pension fund. A dynamic programming approach was employed and we obtained a closed-form solution to the problem. To numerically measure the effect of such changes on asset allocation, we define the concept of policy change equivalent return (PCER) as the additional expected return for the value function of the case without such changes at the same level as the value function of the case with them. In the numerical analysis, we analyzed both the effect of regime switching on market parameters and policy change on the PCER and showed the effectiveness of introducing policy changes to asset allocation.
1. 서론
연기금은 자체적으로 특별한 목적을 달성하기 위해서 조성된 기금으로, 노후 대비(예: 퇴직연금, 국민연금 등), 예금자 보호(예: 예금보호기금)와 같이 그 목적은 좁게는 개인으로부터, 크게는 사회 전체의 복지를 위한 것까지 광범위하다. 따라서, 연기금을 안정적으로 운영하면서 적정한 수익을 얻는 것은 금융시스템의 안정성 측면이나 사회복지의 측면에서도 중요한 사항이 아닐 수 없다. 하지만, 최근 높은 인플레이션율과 갑작스러운 금리인상으로 인하여 금융시장에 충격이 가해지는 가운데, 채권 및 주식 등 다양한 금융상품에 투자해 온 연기금의 수익률이 악화되어 연기금의 안정성이 위협받을 수 있는 상황에 직면해 있다.1)
연기금의 특성상 적립금을 지급해야하는 상황이 되었을 때, 연기금의 지급능력이 전체 필요지급액만큼 미치지 못하게 된다면 사회적으로 큰 문제가 발생하게 됨은 자명하다. 따라서 연기금의 재정건전성을 관리 및 향상시키는 것이 중요한데, 이를 위한 해결책으로는 크게 두 가지 방안이 존재할 것이다. 한 가지는 연기금 적립금의 규모를 키우는 방안이 있다. 연금의 경우에는 연금납입자가 내는 납입금을 늘이는 것이 이에 해당하지만, 납입금을 늘이는 방안은 지속적으로 실현되기 쉽지 않다. 그 예로 국민연금의 경우, 여러 차례 재정건전성 향상을 위해서 소득대비 납입보험료의 비율을 높이고(수입 증대), 소득대체율을 낮춤(지출 감소)으로써 재정 확보를 위해 시도해왔으나 아직도 이를 통한 재정건전성의 향상에는 한계가 있다.
따라서 이와 함께 쓸 수 있는 방안으로 기금담당자는 투자수익률 향상을 위한 다양한 방법을 고민하여야 한다. 즉, 연기금의 여유자금 혹은 운용가능자금의 적절한 투자를 통한 수익을 향상시키는 방안을 두 번째 방안으로 고민해 볼 필요가 있다는 뜻이다. 예를 들어, 지난 2023년 3월 보건복지부에서 발간한 제5차 국민연금 재정추계 결과에 따르면, 기금의 운용투자수익률을 연 4.5%로 가정하였을 때 국민연금의 최대적립기금 시점과 기금 규모는 2040년(1,755조원), 기금 소진시점은 2055년으로 추산되었다. 하지만 연 4.5%의 수익률 대신 연 5.0%의 수익률을 가정하고 추산한 결과, 기금의 적자 발생 시점과 기금 소진 시점을 2년 늦출 수 있다는 결과 또한 이 재정추계에서 도출되었다. 연 0.5%의 수익률을 초과로 달성하는 것은 쉽지 않은 과제이지만, 연기금의 지속가능성에 있어 운용수익률이 큰 영향을 차지하고 있음을 본 추계에서 확인할 수 있으며, 이를 통해 연기금의 운용수익률을 증대시키는 것이 기금의 지속성을 위해서 고려할 수 있는 또 하나의 해결책이 될 수 있을 것이다.
그렇다면 연기금의 운용수익률을 증대시키기 위해서는 어떻게 해야할까? 이 질문의 답을 찾기 위해서는 연기금의 투자비중 결정단계가 어떻게 구성되어있는지, 그리고 어떤 단계가 운용성과에 영향을 크게 미치는지 확인할 필요가 있다. 국내 연기금의 투자 성과의 분석 방법에 대해서 소개한 Ko and Chung(2020)에서는 연기금의 투자 결정단계를 크게 전략적 자산배분 (Strategic Asset Allocation, 이하 SAA), 전술적 자산배분(Tactical Asset Allocation, 이하 TAA), 그리고 자산선택(Asset Selection, 이하 AS)의 3단계로 구분하여 각 단계별 운용성과를 분석해야 함을 말하고 있다. 이러한 3단계 분석을 통하여 저자는 국내 연기금의 운용수익률은 전체 투자 성과 중 97.69%를 차지하는 SAA에서 얻어짐을 확인하였고, 따라서 SAA에서 결정되는 투자전략이 연기금의 운용수익률 성과에 큰 영향을 미침을 확인하였다.
연기금의 SAA에서 최적투자비중에 대한 결정을 내릴 때에는 연기금의 목표수익률, 자산군별 기대수익률과 위험도, 투자 제약조건 등 여러 정보를 반영하여 자산배분 전략을 수립하게 된다. 특히 국내에서는 국가에서 운용 및 관리를 담당하는 연기금이 많고 이로 인해서 연기금의 투자 결정 시에 고려되어야 하는 제약조건은 법률이나 정책으로 규제되는 경우들이 많다. 예로 국민연금은 ‘국민연금기금운용지침’에서 손실부분의 조건부위험가치(conditional Value-at-Risk, 이하 CVaR)를 제약조건에 추가하여 자산배분을 수행하도록 규정하고 있으며, 예금보험기금은 ‘예금자보호법’에 의해 운용가능한 자산군을 제한하고 있다. 이와 같이 연기금의 투자비중 제약조건이 운용 지침이나 법률 등으로 규제되는 경우는 해당 제약조건이 변화되기 위해서는 법률 및 정책의 변화가 수반되어야 한다. 생각보다 이러한 변화는 장기간으로 운용되는 연기금의 투자기간(lifetime) 내에서 자주 일어나는 편이다. 예를 들어, 최근 국민연금을 비롯한 여러 연기금에서 수익률 제고를 위해 해외 주식군의 투자비중을 상향하거나 대체 투자, 해외 채권 등의 비중을 확대해야 한다는 필요성이 제안되고 있으며(Kang, 2023) 실제로 투자비중 제약이 변화하고 있는 상황이다.
이러한 정책적(혹은 가능한 다른 이유에 의한) 제약조건의 변화 가능성을 SAA 모형에 반영하기 위해 새로운 자산배분 모형을 제안하는 것이 본 연구의 목적이다.2) 연기금은 그 조성 목적이 분명히 존재한다는 점에서, 수익률 증대를 통해 기금의 규모를 키우는 것뿐 아니라 지급해야 할 부채, 즉 연금의 경우 지급액, 기금의 경우 목적에 맞게 지출되어야 할 미래의 예상금액의 규모에 맞추어 투자하는 것도 자산배분을 수행할 때 고려해야 할 점 중 하나이다.
부채기반 자산배분에 대한 연구는 Sharpe and Tint(1990)의 연기금의 잉여자산(Surplus)의 최대화를 목적함수로 사용한 자산배분 방법론을 제안하는 연구로부터 시작되었다. Leiboweitz et al.(1994)에서는 연기금별로 상이할 수 있는 자산과 부채의 규모에 따라서 잉여자산의 변화가 다르게 측정되는 문제를 탐구하였으며 연기금의 성과를 측정하는 새로운 척도로 기금의 자산과 부채의 비율로 정의되는 적립비율(Funding Ratio)을 제안하였다. 이들의 연구 이후 적립비율에 대한 효용함수를 고려한 자산배분안을 연구하는 선행연구들이 다수 존재하고 있고,3) 본 연구에서도 자산과 부채를 동시에 고려하는 연기금 펀드매니저의 자산배분 문제를 다루기 위해서 만기에서의 적립비율에 대한 효용을 극대화 것을 펀드매니저의 궁극적인 목적으로 설정한다.
방법론적으로 본 연구에서는 최적 자산배분안을 도출할 때 동적 프로그래밍(Dynamic Programming)을 사용하였다. 이 방법론은 일반적으로 구하려고 하는 목적함수를 Hamilton- Jacobi-Bellman Equation(이하 HJB Equation)으로 변형하여 이 방정식을 푸는 것이다. 이 방법론을 사용하면 구하려고 하는 목적함수가 도출되도록 하는 최적투자전략을 모든 투자기간에 대해 동시에 구할 수 있게 된다. 이와 같이 투자기간 내 시점별로 어떻게 자산배분이 이루어지는 것이 최적인지에 대한 정보를 미리 아는 것은 연기금 운영에 있어 중요할 수도 있는데, 그 이유는 연기금의 규모가 큰 경우 자산배분안 대로 투자비중을 조정하는 과정에서 금융상품의 가격에 영향을 끼칠 수 있기 때문이다. 일례로, Kang et al.(2017)에서는 연기금이 시장에 미치는 가격 영향력을 자산배분안에 반영하는 것이 의미가 있음을 보였다. 이와 같은 맥락에서 본 연구에서도 최적투자전략을 연속시간에서 동적 프로그래밍 방법론을 사용하여 도출하려 한다.
또한, 본 연구에서는 정책적인 투자 환경 변화, 즉 투자비중 제약조건의 변화를 고려하는 자산배분안의 효용성도 분석하였으며, 해당 효과를 측정하는 측도로 정책변경 등가수익률(policy change equivalent Return, 이하 PCER)의 개념을 정의하고 이를 사용하여 분석을 진행한다. 수치적 분석을 통해, 투자비중 제약조건의 변화와 시장상황의 변화에 따라 PCER이 큰 절대값으로 도출될 수 있음을 확인함으로써 투자비중 제약조건의 변화를 자산배분 시 고려하는 것이 중요할 수 있음을 보인다.
한편, 본 연구에서와 같이 투자비중 제약조건의 변화를 고려한 연구는 현재까지 존재하지 않는다. 비슷한 모형으로 시장 상황의 변화를 국면 전환(Regime Switching) 모형을 도입하여 최적투자 문제를 해결한 연구들이 있는데(Korn et al., 2011; Siu, 2012), 이들 연구는 대부분 적립비율이 아니라 펀드 만기 시의 자산 규모의 효용함수를 최대화하고자 한 연구들이다. 또한, 다양한 제약조건 하에서 적립비율의 최대화를 고려하여 연기금의 자산배분 모형을 제시한 여러 선행 연구들이 존재하고 있다. 그에 대한 예시로 VaR 제약조건을 고려한 Chae and Jang(2021), 유동성과 자본 규제 제약을 고려한 Broeders(2021), 적립비율의 Short-Fall constraint를 고려한 Leiboweitz(1994) 등의 연구가 존재하고 있지만, 본 연구에서 고려하는 것과 같이 제약조건의 ‘변화’를 고려하지는 않았다는 점에서 차이가 있다. Hoevenaars et al.(2008), Giamouridis et al.(2017), Jang(2021)에서는 이산 시간(discrete time) 가정 하에서 적립비율을 고려한 효용함수를 사용하여 자산배분 문제를 해결하였지만, 본 연구는 연속 시간을 가정한 상황에서 문제를 풀었다는 점에서 차이가 존재한다.
본 연구의 이후 구성은 다음과 같다. 2장에서는 구체적인 금융시장 모형의 설정, 동적 프로그래밍 최적화 문제의 설정과 그 해에 대해서 논의할 것이다. 3장에서는 2장에서 도출된 해인 투자자의 최대화된 목적함수, 즉 가치함수(Value Function)와 PCER을 사용하여 정책변화를 고려하는 자산배분 방법론의 이론적 분석을 수행한다. 마지막 4장에서는 연구의 결과를 요약하고 결론을 맺는다.
2. 자산배분 모형
본 연구에서 고려하는 금융시장에서는 무위험자산(예: MMF, 단기예금, 혹은 단기국채 등)과 위험자산4),의 두 가지 자산으로 이루어진 금융시장이다.5) 금융시장에서의 투자자인 펀드매니저는 CRRA(Constant Relative Risk Aversion) 형태의 효용함수를 가지고 있으며, 이 펀드매니저는 위험자산에 대한 투자비중 제약조건의 변화를 고려한 펀드의 적립비율(Funding Ratio)에 대한 효용함수의 최대화를 위해서 자산배분을 한다고 가정한다.
위험자산에 대한 투자비중 제약조건을 규제하는 정책변화는 투자기간 중 1회만 지수확률분포를 따라(Exponentially Distributed) 랜덤하게 일어나며,6) 정책변화 시점을 기준으로 투자비중 제약조건의 변화가 발생하기 전 국면을 ‘국면 b’ (Regime b), 그리고 투자비중 제약조건의 변화가 발생한 이후의 국면을 ‘국면 a’ (Regime a)로 명명한다. 본 연구에서는 국면이 바뀜에 따라서 변화하는 것은 투자비중 제약조건(ki)뿐 아니라, 무위험자산의 수익률(ri), 위험자산의 기대수익률(μi)과 변동성(σi), 총 4개의 변수의 값이 변화할 수 있다고 가정하였다. 이는 금융시장 모수(Parameters)들의 국면 전환 모형을 사용한 기존의 자산배분 모형에 투자비중의 제약조건의 변화를 추가하여 확장한 모형으로 생각할 수 있다.
2.1 금융시장
전술했듯, 본 연구에서 고려하는 금융시장은 무위험자산과 위험자산, 총 2개의 자산으로 구성되어 있다. 이 중 무위험자산의 가격 P(t)는 다음과 같은 가격 변화의 확률프로세스 (Stochastic Process)를 따른다고 가정한다. 즉,
위험자산의 가치 S(t)는 기하 브라운 운동(Geometric Brownian Motion)을 따른다고 가정하며 그 가격 변화의 프로세스는 다음과 같다:
여기서 위험자산의 기대수익률은 무위험 수익률 이상이라는 조건(μi≥ri)을 만족해야 한다. 또한 WtS는 확률 공간(Ω,F,Ft,P)에서 정의되는 표준 브라운 운동(Standard Brownian Motion)을 의미하며, 위험자산 가치의 확률프로세스에 있어 임의성(Randomness)을 부여해주는 역할을 수행한다. 한편 아래첨자 i는 투자비중 제약조건 변화일 전(b)과 후(a)의 국면을 나타내는 것이며, 본 연구에서는 제약조건의 변화 전후에 시장 상황이 다를 수도 있는 일반화된 모형을 생각한다.
2.2 연기금의 자산과 부채 프로세스
연기금의 전체 자산을 A(t)라 가정하고 위험자산에 y(t)만큼의 자산을 할당, 무위험자산에 A(t)-y(t)만큼의 자산을 할당하여 투자할 때, 펀드 자산의 가치 프로세스는 수식 (1), (2)로부터 다음과 같이 나타난다:
그리고 기금 문제를 다룰 때에는 이 펀드의 자산 가치가 음수가 될 수 없다는 조건이 필요하기 때문에 모든 시간 t에 대해서 A(t)≥0을 만족해야 한다.
전체 펀드 자산 중에서 위험자산에 투자하는 비율을 나타내는 πt를 전체 자산 A(t)대비 위험자산 투자액 y(t)의 값으로 정의하면 다음과 같다:
위 수식 (3)을 수식 (4)에서 정의된 πt를 사용하여 표현하게 되면, 아래와 같이 정리됨을 알 수 있다:
한편, 연기금의 적립비율을 정의하기 위해서는 연기금 펀드의 부채 프로세스의 정의도 필요하다. 본 연구에서는 연기금의 부채를 연금의 경우 미래의 수급자에게 주어야할 지급액, 기금의 경우 목적에 맞게 지출되어야 할 미래의 예상금액으로 생각한다. Chae and Jang(2021)에서 고려한 바와 같이 부채의 프로세스 L(t)를 임의성을 가지지 않고7), 시간에 따라서 적분가능한 g(t)8)에만 영향을 받는 다음의 프로세스를 따르는 상황을 가정하였다:
수식 (6)에서 적분을 통해, L(t)의 형태를 다음과 같은 형태로 표현할 수 있으며, 해당 값은 모든 시점 t에 대해서 양수 조건을 만족해야한다고 가정하였다:
또한, 만기 시의 지급해야하는 부채 L(T)와 시점 t의 부채 L(t)의 비율을 LR(t)로 정의하면 다음과 같다:
이러한 정의 하에서 LR(T)=1은 자명하게 도출됨을 알 수 있고, 수식 (8)에서 정의된 LR(t)는 후술될 HJB equation의 가치함수를 구할 때 사용된다.
2.3 연기금의 자산배분 문제 정의
위 2.1절과 2.2절에서 정의한 상황에서 연기금의 펀드매니저는 T>0의 펀드 만기 시점에서의 펀드의 적립비율 F를 최대화하기 위해서 자산배분을 수행한다고 가정한다. 이때 임의의 시점 t의 적립비율 F(t)는 다음과 같이 정의된다:
한편, 이 펀드매니저는 적립비율을 기반으로 한 상수인 상대적 위험회피 계수를 가지는(Constant Relative Risk Aversion; CRRA) 형태의 효용함수 U를 고려한다. 즉, 펀드매니저의 상대적 위험회피 계수가 γ일 때
한편, 펀드매니저가 투자기간 동안 제어할 수 있는 제어변수(Control Variable)는 위험자산에 투자하는 총 투자액 y(t)이며, 해당 변수는 투자비중 제약조건으로 규제9)된다고 생각한다. 이 투자비중 제약조건은 제약조건 변화 시점 τ에 따라서 바뀔 수 있고, 이 τ의 확률 분포는 자산배분 문제에서 외부 충격(Shocks)이 도달할 때 자주 사용되는 모형인 강도(Intensity) λ를 가지는 지수확률분포(Exponential Distribution)을 가정하였다. 즉, 확률변수τ의 확률밀도함수(Probability Density Function)는 수식 (11)에서와 같이 주어진다:
위험자산에 투자하는 총 투자액 y(t)에 대한 제약조건은 투자비중 제약조건 변화시점 τ를 기준으로 kbA(t)에서 kaA(t)로 바뀌며, 해당 제약조건을 식으로 나타내면 수식 (12)와 같다:
자산 가치 프로세스를 나타내는 수식 (5)와, 부채 프로세스를 나타내는 수식 (6), 그리고 적립비율의 정의식인 수식 (9)과 함께 이토 정리(Ito’s Lemma)를 사용하면 F(t)의 확률프로세스를 얻을 수 있다:
결국, 본 연구에서 다룰 문제는 펀드매니저의 가치함수 V(t,F)를 초기 조건 F(0)=f0를 사용하여 모든 투자 시점 t(0≤ t ≤ T)에 대해서 찾는 것이다. 이는 제약 수식 (12)을 만족하면서 만기 시점에서의 기대 효용을 최대화할 수 있는 자산배분 전략 y(t)를 통해서 얻게 된 효용함수의 값을 찾는 것으로 정의된다: 즉, 펀드매니저의 자산배분 문제는
로 표현된다. 이때, Et는 시점 t에서의 조건부 기댓값(Conditional Expectation)을 의미한다. 한편, τ를 기준으로 이전과 이후의 가치함수의 형태는 달라질 것이므로, 구분을 위해서 τ이전의 가치함수는 Vb, τ 이후의 가치함수는 Va로 편의상 표기한다. 일반적인 동적프로그래밍의 방법론을 사용하면 Va와Vb에 대한 HJB Equation은 다음과 같이 나타내어진다:
Case 1: t > τ
Case 2: t ≤ τ
2.4 투자비중 제약 변경 시점 이후의 펀드매니저의 최적투자전략
수식 (15)에서 알 수 있듯, 이 문제는 πt에 대한 위로 볼록(Concave)한 최적화 문제이므로 1차 미분 조건(First-order Condition; 이하 FOC)을 활용하면, τ이후 최적투자전략 πa의 식을 구할 수 있다:
위 식에 제약에 도달하지 않을 때의 최적투자전략을
로 정의한다. 또한, 위의 πta가 얼마로 정해지는지에 따라서 수식 (15)의 형태가 달라지게 되는데, 각각의 경우에 대한 HJB equation을 구분해서 나타내면 다음과 같음을 확인할 수 있다.
Case 1-1: t>τ and 0 ≤ πta <ka, 즉 πta=πaM,t일 경우,
Case 1-2: t>τ and πta ≥ka, 즉πta =ka일 경우,
위 수식 (19)과 (20)에 대한 가치함수의 형태를
로 추측한다. 여기서 ηa는 상수로서 추후 결정해야하는 값이다. 위의 가치함수를 수식 (19)과 (20)에 각각 대입하여 계산하면 ηa의 값을 결정할 수 있다10):
즉, 수식 (17), (21), (22)에 의해 펀드매니저의 최적투자전략을 구할 수 있다. πaM,t는 Merton(1969)에서 구한 최적 자산배분 전략 공식과 같은데, 실제로 가치함수를 구하여 V함수에 넣고 계산하면,
와 같이 시간에 상관이 없는 상수임을 알 수 있다. 따라서 최적투자전략은
이 된다.
2.5 투자비중 제약 변경 시점 이전의 펀드매니저의 최적투자전략
수식 (16)에 주어진 Vb에 대한 HJB equation을 풀기 위해서 2.4절의 방법론과 동일하게 FOC를 적용해서 최적화 문제를 풀게 되면, τ이전의 최적투자전략 πtb는 다음과 같은 식으로 나타내어진다:
따라서, πbM,t와 kb의 대소관계에 따라서 πtb가 달라지고, 이는 수식 (16)의 형태가 달라지게 되는 결과와 이어지게 된다. Vb의 HJB equation을 각각의 최적투자전략 πtb의 경우에 대해 도출하면 수식 (26)과 (27)로 표현된다.
Case 2-1 : t≤τ and 0 ≤ πtb <kb, 즉πtb=πbM,t일 경우,
Case 2-2 : t≤τ and πtb ≥kb, 즉 πtb =kb일 경우,
위 HJB equation의 해로 사용될 수 있는 가치함수 Vb의 형태를 다음과 같이 t에 의존하는 함수 η̃(t)를 도입해서 다음과 같은 형태로 가정한다:
이 때, 만기의 효용함수 조건을 만족하기 위해서 η̃(T)=1 를 만족해야한다.
위 만기조건과 수식 (27)과 (28), 2.4절의 Va의 계산 결과를 함께 만족하도록 계산을 수행하면, (η)̃(t)의 식이 다음과 같이 도출된다:
여기서 사용된 상수 ηb는 다음과 같이 정의된 값이다11):
이와 함께, 투자비중 제약 발생 이전의 최적투자전략도
와 같이 표현가능하다.
위 수식 (29)의 η̃(t)를 수식 (32)로 정의한 wij를 사용하여 나타내면 수식 (33)과 같이 일반적으로 표현할 수 있다:
여기서 아래첨자 i와 j는 각각 국면 a, b 별로 모수와 제약조건 간의 관계를 통해서 얻어지는 값으로 각각 1 또는 2의 값을 가진다. 예를 들어(πtb , πta)=(πMb, πMa)라면, wij에 사용되는 아래첨자 {i, j}는 {1,1}에 대응되게 된다:
3. 수치적 함의
이번 장에서는 2장의 2.4, 2.5절에서 구한 가치함수들을 활용하여 투자비중 제약 관련 정책변화에 따른 제약조건 변화를 고려하는 것이 얼마나 효과가 있는 것인지 이론적, 수치적으로 분석하고자 한다. 이를 위해서 정책변경 등가수익률(policy change equivalent Return; 이하 PCER)을 효율성의 척도로 정의한다.
3.1 정책변경 등가수익률(PCER)
PCER은 투자시작 시점 t=0에서 적립비율 F가 주어져 있는 상황에서 투자비중 제약조건 변화를 고려하였을 때의 가치함수 Vb의 값과 같은 수준의 값을 얻기 위해서 변화를 고려하지 않았을 때의 가치함수 VNPC가 필요로 하는 위험자산의 부가수익률로 정의한다. 이는 제약조건 변화를 고려하여 자산배분을 수행했을 때 얻을 수 있는 투자자의 추가 기대수익률과 같은 의미로 해석가능하며, 아래의 수학적 정의식에서 사용된 α와 같다12):
여기서, 임의의 확률변수 X에 대한 조건부 기댓값 Xavg는
와 같이 정의된다. 위 수식 (35)에서 변수 X는 본 모형의 제약 변화 전후 다른 값을 가지면서 시변하는(Time-varying) 모수인 {μ, σ, k, r}이며, Xavg는 이들 각 모수의 투자기간 평균값을 의미한다.
PCER은 투자비중의 제약의 변화를 고려한 펀드매니저와 그렇지 않은(현재의 투자비중 제약이 그대로 유지될 것이라고 판단한) 펀드매니저의 효용 비교를 통해서 나온 수익률 개념이다. 따라서 시장상황이 변화하지 않는다고 가정할 경우13) 미래에 투자비중 제약이 강화되면, 이를 고려한 펀드매니저의 효용이 그렇지 않은 펀드매니저의 효용보다 더 낮을 가능성이 높기 때문에 음의 α값, 즉 음의 PCER을 얻게 될 것이다. 반대로, 미래에 투자비중 제약이 완화되면, 양의 PCER을 얻게 될 가능성이 높아진다. 따라서 양의 PCER은 펀드매니저가 투자비중의 제약조건 변화를 고려함으로써 얻을 수 있는 추가 수익의 개념이 되고, 음의 PCER은 펀드매니저가 변화된 투자비중의 제약을 미처 고려하지 못함으로써 발생가능한 추가 손실의 개념이 된다.
투자비중 제약조건의 변화를 고려하지 않는 상황에서의 자산배분 문제, 즉 가치함수 VNPC를 구하는 문제는 2.4절에서 전술했던 문제의 상황에 모수들의 평균값을 대입한 문제를 푼 것과 같다. 따라서 VNPC는 Va와 함수의 형태는 같되 모수에 평균 모수를 사용하였다는 차이만 존재한다. 이 점을 활용하면 α를 공식(Closed-form)화하여 명시적으로 표현할 수 있게 된다.
VNPC의 함수 형태가 평균 모수들의 관계에 따라서 변화하기 때문에, α의 식도 모수의 값에 따라서 바뀌게 된다. 이를 고려하기 위해서 모수들 간의 관계를 나타내기 위해서 사용되는 식인 fij (i,j ∈ {1, 2})를 정의하고자 한다:
위의 수식 (34)에 수식 (21)와 (28)에서 유도한 Vb ,Va식을 대입하고 α에 대하여 식을 정리하면, 아래의 정책변경 등가수익률 α의 공식을 얻을 수 있다14):
여기서 알 수 있는 것 중 흥미로운 점은, PCER의 식에 부채 프로세스의 영향은 상쇄되어 없어지기 때문에 부채의 영향보다는 투자 자산군과 연관된 모수의 영향만이 반영된다는 점이다15).
3.2 정책변화 빈도와 관련된 모수에 따른 PCER의 비교정학 분석(Comparative Statics)
본 절에서 비교정학 분석을 수행할 변수는 다음과 같다.
1) 투자 만기 T,
2) 투자비중 제약조건 변화의 강도 모수 λ,
3) 정책변화 시점 τ이전의 제약조건 kb의 변화
가 있다. 본 연구에서는 위의 모수를 제외한 다른 모수들의 값은 변화하지 않는다고 가정하고 분석하였으며, 분석은 크게 초기 제약조건의 영향을 받는 경우(kb≥πMb, 이하 j=1)와, 초기 제약조건의 영향을 받지 않는 경우(kb <πMb, 이하 j=2)를 나누어서 실행하였다.
각각의 상황별로 투자 만기 T가 변화함에 따라서 PCER이 어떻게 변화하는지와 정책변화 빈도 모수 λ가 변화함에 따라서 PCER이 어떻게 변화하는지를 그래프로 나타내었다. 이는 [그림 2], [그림 3]에서 확인할 수 있다. 각 실험에서 디폴트 모수들의 값은
![[그림 2]](/upload//thumbnails/kjfs-53-5-489-g002.jpg)
초기 제약조건에 의해 영향을 받지 않는 경우(j=1), 투자 만기 T와 빈도 모수 λ에 대한 PCER의 변화
본문 중 Case 1 경우에 해당되는 상황으로 kb≥πMb>ka을 만족하는 ka값에 대해 T와 λ의 변화에 대해 PCER이 어떻게 변화하는지 알아보았다. 사용한 모수는 μb =μa =10%로 설정하였고, 변동성 σb =σa =20%로, 무위험 수익률 rb=ra =4%로 설정하였고, 정책 변경 이전 제약조건 kb는 0.9로 가정하였다. 상대위험회피계수 γ는 2로 설정하였다. T를 변경하는 경우, 빈도 모수의 값을 λ=0.2로 고정하여 사용하였고, λ를 변경하는 경우에는, T=5로 고정하여 사용하였다.
![[그림 3-1]](/upload//thumbnails/kjfs-53-5-489-g003.jpg)
초기 제약조건에 의해 영향을 받는 경우(j=2), 투자 만기 T와 빈도 모수 λ에 대한 PCER의 변화 중, kb =0.6인 경우
본문 중 Case 2-1(ka≥πMb>kb), 2-2(πMb>ka≥kb), 2-3(πMb>kb>ka)을 각각 고려하였으며, 각각 범위 조건을 만족하는 ka값에 대해 T와 λ의 변화에 대해 PCER이 어떻게 변화하는지 알아보았다. 사용한 모수는 μb=μa=10%로 설정하였고, 변동성 σb =σa =20%로, 무위험 수익률 rb=ra =4%로 설정하였고, 정책 변경 이전 제약조건 kb는 0.6으로 가정하였다. 상대위험회피계수 γ는 2로 설정하였다. T를 변경하는 경우, 빈도 모수의 값을 λ=0.2로 고정하여 사용하였고, λ를 변경하는 경우에는, T=5로 고정하여 사용하였다.
μb=μa=10% σb=σa20%, rb=ra=4%
을 사용하였다. 이는 2023년 10월 31일 기준, 한국예탁결제원에서 공시하는 180일 평균 KOFR 금리의 값이 3.6%로 도출되었기 때문에, 무위험자산의 기대수익률로 이 값에 가장 가까운 정수값인 4%의 값을 사용하였다. 또한, 각 국가별 주식 시장의 주식 위험 프리미엄에 대해서 분석한 Damodaran(2023)에 의하면, 한국 시장의 주식 위험 프리미엄은 6.35%, 변동성은 19.61%로 보고되었다. 따라서 위험자산의 기대수익률은 ‘무위험 이자율 + 주식 위험 프리미엄’으로 계산한 후 가까운 정수값으로 정하였고, 변동성 또한 해당값에 가장 가까운 정수값으로 선택하였다. 투자자의 상대적 위험회피계수 γ의 값을 정할 때는 상대적 위험회피계수에 대한 메타 분석을 실시한 Elminejad et al.(2023)를 참고하였다. 구체적으로, 본 연구에서는 이 논문의 위험회피계수 값의 범위에 들어가면서 자산배분 관련 연구에서 흔히 사용되는 γ=2를 사용하였다.
이렇게 설정한 모수들의 값으로 계산한 제약이 없을 때의 최적투자비중 πMb=πMa∶=πM=0.75로 계산된다. 한편 PCER의 비교 정학분석을 수행하기에 앞서, 투자비중 제약조건의 변화만이 존재하는 상황에서 PCER이 어떻게 변화하는지에 대한 경향성은 [그림 1]에서와 같이 나타난다.
![[그림 1]](/upload//thumbnails/kjfs-53-5-489-g001.jpg)
투자비중 제약조건의 변화만이 존재할 때, PCER의 변화
모수들의 값이 투자비중 제약조건의 변화 전후로 변화하지 않는 상황을 고려하여, 투자비중 제약조건의 변화가 PCER에 미치는 영향을 분석하였다. 사용한 모수들의 값은 μb =μa =10%로 설정하였고, 변동성 σb =σa =20%로, 무위험 수익률 rb =ra =4%로 설정하였고, 투자 만기 T=5, 빈도 모수 λ=0.2를 사용하였다.
PCER의 값은 음수에서 시작하여 서서히 증가하다가, 부호는 ka=kb를 기준으로 변화하게 되며, ka >πM에서는 더 이상 PCER의 증가가 이루어지지 않음을 확인할 수 있다. 이는 앞서 서술한 PCER의 함의와 일맥상통한 결과임을 알 수 있다.
또한, PCER의 변화 양상은 πM의 값과 초기 제약조건과의 대소 관계에 따라서 달라지게 된다. 따라서, 본 연구에서는 j의 값에 따라서 분석을 수행하되, 각 상황별로 세부 상황을 고려하여 결과를 해석하였다. 세부 상황은 j=1인 경우, 제약조건이 강화되어 최적투자비중 πM으로 투자가 이루어지지 못하는 경우(kb≥πM>ka, Case 1)를 고려하였고, j=2의 경우에는 제약조건이 완화되며 최적투자비중 πM로 투자가 이루어지는 경우(ka≥πM>kb, Case 2-1), 제약조건이 완화되지만 최적투자비중 πM로 투자가 이루어지지는 못하는 경우(πM>ka≥kb, Case 2-2), 제약조건이 강화되는 경우(πM>kb>ka, Case 2-3)를 각각 고려하였다. 여기서 j=1이며 제약조건이 완화되는 경우(ka ≥ kb) 혹은 제약조건이 강화되지만 최적투자비중에 영향을 주지 않는 경우(kb>ka ≥πM)를 고려하지 않은 이유는 해당 상황의 경우에는 제약조건이 투자 기간 전체에 있어 제약조건으로 작동하지 못하는 상황이므로, PCER이 자명하게 0으로 도출되어야하기 때문이다. 이는 아래 [그림 2]에서도 확인할 수 있다.
3.2.1 초기 투자비중 제약조건에 규제되지 않는 경우 (j=1, πM≦kb)
이번 절에서의 결과는 kb =0.9를 사용함으로써, kb≥πM를 만족하여 투자비중 제약조건 변화가 발생하기 이전(t<τ)에는 제약이 없는 최적투자 πM로 투자가 이루어지지만, 투자비중 제약조건 변화 이후(t≥τ)에는 ka의 값에 따라서 이전과 동일한 방식으로 투자가 이루어질지, 아니면 투자비중 제약조건에 의해 규제되어 ka로 투자가 진행될지의 여부가 결정되는 상황을 살펴본다.
먼저, T에 대한 변화 양상을 살펴보면 T의 값이 커짐에 따라서, PCER이 음수로 점점 커지는 것을 확인할 수 있다. 특히 그 절댓값은 ka가 작아질수록 더 커지는 경향을 보이는데, 이는 kb≥πM>ka이므로 제약조건 변화가 발생함과 동시에 최적투자를 수행할 수 없는 환경으로 바뀌게 되고, 투자 만기가 길어질수록 해당 상황이 지속되는 시간이 길어지기 때문으로 해석할 수 있다.
이러한 경향은 λ에 대한 변화 양상에서도 유사하게 나타나는데, λ의 값이 커짐에 따라서, PCER이 음수로 점점 커지며, ka가 작아짐에 따라서 절댓값이 더 커지는 현상을 동일하게 확인할 수 있다. 하지만 ka가 변화함에 따라 발생하는 PCER의 변화폭이 T에 대한 그래프보다 λ에 대한 그래프에서 더 크게 나타나는 것을 통해서, ka에 대해서 더욱 민감하게 변화하는 파라미터가 빈도 모수 λ임을 확인할 수 있다.
3.2.2 초기 제약조건에 규제되는 상황의 PCER 분석 (j=2, πM>kb)
본 절에서의 결과는 kb <πM가 되어, 투자비중 제약조건 변경 이전에 제약이 없는 최적투자 πM만큼의 투자가 이루어지지 못하고, 제약조건에 해당하는 만큼의 투자만 이루어질 수 있는 상황에서 ka의 변화에 따라서 투자비중의 변화가 발생하는 상황에 대해서 분석하였다. 특히, 이번 경우에서는 kb가 πM로부터 상대적으로 가까운 경우(kb =0.6, [그림 3-1])와 kb가πMb로부터 상대적으로 먼 경우(kb =0.35, [그림 3-2])를 고려하여 분석하였다.
![[그림 3-2]](/upload//thumbnails/kjfs-53-5-489-g004.jpg)
초기 제약조건에 의해 영향을 받는 경우(j=2), 투자 만기 T와 빈도 모수 λ에 대한 PCER의 변화 중, kb=0.35인 경우
본문 중 Case 2-1(ka≥πMb>kb), 2-2(πMb>ka≥kb), 2-3(πMb >kb>ka)을 각각 고려하였으며, 각각 범위 조건을 만족하는 ka값에 대해 T와 λ의 변화에 대해 PCER이 어떻게 변화하는지 알아보았다. 사용한 모수는 μb=μa =10%로 설정하였고, 변동성 σb =σa =20%로, 무위험 수익률 rb =ra =4%로 설정하였고, 정책 변경 이전 제약조건 kb는 0.35로 가정하였다. 상대위험회피계수 γ는 2로 설정하였다. T를 변경하는 경우, 빈도 모수의 값을 λ=0.2로 고정하여 사용하였고, λ를 변경하는 경우에는, T=5로 고정하여 사용하였다.
먼저 kb =0.6인 경우, Case 2-1(ka =0.9)과 Case 2-2(ka =0.7)에 대해서 PCER이 모든 T값에 대해서 양수로 도출되고, Case 2-3(ka =0.5,0.3,0.1)에 대해서는 음수로 도출됨을 확인할 수 있었다. 이러한 경향성은 λ에 따른 PCER의 변화에서도 동일하게 확인할 수 있다. 이는 제약조건 변화 전후로 동일한 최적투자비중을 유지하는 상황에서, 제약조건이 완화되는 것은 최적투자전략에 더 근접하게 투자전략을 유지할 수 있다는 점에서 효용이 상승하였기 때문으로 해석할 수 있고 이로부터 양의 PCER이 도출됨을 알 수 있다. 한편, 제약조건이 오히려 강화된다면 이는 최적투자전략으로부터 더 멀어지게 되는 상황이 연출되므로 효용이 감소하며, 그로 인하여 음의 PCER이 발생하게 된다.
이는 kb =0.35의 경우에도 동일하게 도출되는데, Case 2-1(ka =0.9), Case 2-2(ka=0.7, 0.5)에 대해서는 양의 PCER이 모든 T와 λ에 대해서 도출되며, Case 2-3(ka =0.3,0.1)에 대해서는 음의 PCER이 도출되는 것을 확인할 수 있다. 또한, kb =0.6의 경우와 비교함으로써, 제약조건의 완화로 인하여 해소되는 제약조건 변화 이전의 최적 자산 비중과의 괴리(|kb -πM|)가 크면 클수록, PCER이 양수로 커짐을 확인할 수 있었다. 한편, ka =0.9와 ka=0.7의 PCER 차이가 크게 도출되지 않는데, 이는 최적투자비중을 초과하여 제약조건이 완화되는 경우는 ka =0.75가 된 것과 상황적으로 크게 변화된 것이 없기 때문에, PCER의 차이가 크게 발생하지 않는 것으로 해석할 수 있다.
3.3 시장 모수에 따른 PCER에 대한 비교정학 분석
본 절에서는 빈도 모수는 고정한 후, 시장 모수의 값의 변화에 따라서 PCER이 어떻게 변화하는지에 대한 분석을 수행하고자 한다. 본 절에서 변화시키고자 하는 변수는 다음과 같다.
1) 투자비중 제약조건 변화 이후 위험자산의 기대수익률μa,
2) 투자비중 제약조건 변화 이후 위험자산의 변동성σa,
3) 투자비중 제약조건 변화 시점 τ이전의 제약조건 kb의 변화
각각의 분석을 수행할 때, 투자 만기 T=5, 빈도 모수 λ=0.2로 고정하여 사용하였다. 투자비중 제약조건 변화 이전의 시장 모수는 3.2절과 같은 값인 μb =10%, σb =20%, rb =ra =4%로 설정하였다. 이를 사용하여 계산한 투자비중 제약조건 변화 이전, 제약조건이 없을 때의 최적 투자비중 πMb =0.75로 얻어진다. 또한, 제약조건 변경 이후의 기대수익률의 범위를 [5%, 15%]로 바꿔가며 PCER을 계산하였고, 변동성의 범위는 [10%, 30%]로 바꿔가며 PCER을 계산하였다.
또한 본 장에서의 상황은 앞선 3.2절과 달리 PCER에 투자비중 제약조건 변화에 의한 영향뿐 아니라 시장 모수의 변화를 고려하는 시장상황 변화(Regime Switching)에 의한 영향이 함께 고려되어 있기 때문에 분석에 있어 앞선 장과 달리 상황을 더욱 구체화하여 분석해야할 필요가 있다. 그에 따라서 각각의 상황별로 μimax와 σimin (i∈{a,b})를 정의하고자 한다. 해당 값들은 각각 ki (i∈{a,b})에 의해 영향을 받지 않고 제약조건이 없는 상황에서의 최적투자가 이루어질 수 있는 최대 기대수익률과 최소 변동성을 의미하며, 투자비중 제약조건 변화 이후의 μa혹은 σa의 값이 μimax와 σimin와 어떠한 관계를 가지는지에 따라서 투자비중 제약조건 변화를 고려하는 것이 PCER에 어떠한 영향을 주는지를 다르게 고려해주어야 한다. 후술될 3.3.1, 3.3.2 절에서 ka와 kb의 대소관계에 따른 다음과 같은 2가지의 경우와,
1) 투자비중 제약조건 변화 이후 규제가 완화되는 경우 (ka ≥kb) : Case 3
2) 투자비중 제약조건 변화 이후 규제가 강화되는 경우 (ka <kb) : Case 4
각각의 경우별로 2가지의 영역을 고려하여 분석할 것이다.
Case 3의 경우,
Case 3-1) 시장상황 변화의 영향만이 존재하는 경우 (μa ≤μbmax < μamax or σa ≥σbmin >σamin)
Case 3-2) 시장상황 및 정책변화의 영향이 함께 존재하는 경우 (μbmax<μa or σa<σbmin)
Case 4의 경우,
Case 4-1) 시장상황 변화의 영향만이 존재하는 경우μa ≤μamax < μbmax or σa ≥σamin >σbmin)
Case 4-2) 시장상황 및 정책변화의 영향이 함께 존재하는 경우 (μamax<μa or σa<σamin)
3.3.1 초기 제약조건에 의해 규제되지 않는 경우 (j=1, πMb ≦kb)
이번 절에서의 결과는 kb=0.8를 사용하여 도출되었으며 그에 대한 결과는 [그림 4]에서 구체적으로 확인할 수 있다.
![[그림 4]](/upload//thumbnails/kjfs-53-5-489-g005.jpg)
초기 제약조건에 의해 영향을 받지 않는 경우(j=1), 정책변화 이후 기대수익률 μa과 변동성 σa에 대한 PCER의 변화
본문 중 3.3.1절의 경우에 해당되는 상황으로 kb≥πMb일 때, μa와 σa의 변화에 따른 PCER의 변화를 확인하였다. 사용한 모수는 μb =10%로 설정하였고, 변동성 σb=20%로, 무위험 수익률 rb =ra =4%로 설정하였고, 정책 변경 이전 제약조건 kb는 0.8로 가정하였다. 상대위험회피계수 γ는 2로 설정하였다. 투자 만기 T=5, 빈도 모수 λ=0.2로 설정하였다. μimax는 각각의 국면 i∈{a, b}별로 제약조건 ki에 영향을 받지 않고 투자 가능한 최대 기대수익률을 의미하며, σimin는 최소 변동성을 의미한다.
Case 3(ka=0.9)의 결과를 보면 Case 3-1에서의 PCER은 시장상황 변화의 영향만이 존재하기 때문에 제약조건 변화에 대해서는 큰 영향 없이 양수가 도출됨을 확인할 수 있었다. 양수의 PCER이 도출되는 것은 투자비중 제약조건 변화시에 발생하는 수익률의 변화로 인한 최적투자 비중의 변화를 시장상황 변화를 고려함으로써 제약조건 변화 이전과 이후 모두에 있어 제약 조건이 없는 경우의 최적투자 비중과 같이 최적투자가 가능했기 때문으로 해석할 수 있다.
Case 3-2에서의 PCER은 0과 가까운 값에서 점차 수익률이 증대(혹은 변동성이 감소)함에 따라 음수의 값으로 전환되는 모습을 볼 수 있는데, 이는 두 가지 효과가 합쳐져 이루어진 현상으로 분석해야 한다. 먼저, 정책변화에 의한 영향은 PCER에 있어 긍정적인 영향을 주게 된다. 그 이유는 제약조건의 변화를 고려함으로 인해서 고려하지 않았을 때보다 최적투자전략과 가까운 투자전략을 실행할 수 있게 되기 때문이다. 이는 수식적으로|πaM-ka│<│πaM-kb│이 성립하는 것과 동치이다. 한편, 수익률이 증대되거나 변동성이 감소함에 따라 시장상황 변화를 고려하였을 때의 최적투자전략 πaM와 규제 사이 차이(|πaM-ka│)보다 시장상황 변화를 고려하지 않았더라면 이루어질 투자전략πavgM (πM의 식(수식 (23, 31)의 μ, σ에 수식 (35)를 사용해서 계산한 평균 파라미터를 사용한 경우)과 규제 사이 차이(|πavgM-ka│)의 값이 더 작아지게 되므로, 시장상황 변화를 고려하는 것이 PCER에 있어 부정적인 영향을 주게 된다. 이 효과가 점차 정책변화를 고려함에 따른 PCER의 증가 효과를 압도하게 되어 [그림 4]의 경향성을 나타내게 됨을 설명할 수 있다.
한편, 다른 관점으로는 기대수익률(μa)가 커지거나 변동성(σa)이 감소하는 경우에 PCER이 음수로 도출되는 것은 투자 환경이 더욱 좋아질 것이라 예측되지만 이와 반대로 투자의 제약조건으로 인해서 최적투자가 이루어지지 못하는 상황을 고려하게 되므로, 가치함수의 값이 작아지게 되기 때문으로 이해할 수 있다.
Case 4(ka =0.7, 0.5, 0.3, 0.1)의 결과를 보면, Case 4-1에 대해서는 앞선 Case 3-1과 차이가 없으므로 같은 PCER 값을 나타내지만, Case 4-2에서 차이가 발생한다. Case 4-2에서는 Case 3-2에서 나타나는 시장상황 변화가 PCER에 미치는 영향은 같지만, 정책변화가 PCER에 미치는 영향이 반대로 작용한다. 그에 따라서 PCER이 점차 같은 기대수익률(변동성)에 대해서 더 작은 값을 가지게 되는 것이다.
3.3.2 초기 제약조건에 규제되는 상황의 PCER 분석 (j=2, πMb >kb)
본 절에서는 앞선 3.2.2 절에서와 같이 초기 제약조건에 의해서 최적투자가 이루어질 수 없는 상황을 고려하면서도 제약조건이 없는 경우의 최적투자로부터의 괴리가 상대적으로 작은 경우(kb =0.6, [그림 5-1])와, 상대적으로 큰 경우(kb =0.35, [그림 5-2])를 나누어서 분석하였다.
![[그림 5-1]](/upload//thumbnails/kjfs-53-5-489-g006.jpg)
초기 제약조건에 의해 영향을 받는 경우(j=2), 정책변화 이후 기대수익률 μa과 변동성 σa에 대한 PCER의 변화 (kb=0.6인 경우)
본문 중 3.3.2절의 경우에 해당되는 상황으로 kb<πMb일 때, μa와 σa의 변화에 따른 PCER의 변화를 확인하였다. 사용한 모수는 μb=10%로 설정하였고, 변동성 σb=20%로, 무위험 수익률 rb =ra =4%로 설정하였고, 정책 변경 이전 제약조건 kb는 0.6로 가정하였다. 상대위험회피계수 γ는 2로 설정하였다. 투자 만기 T=5, 빈도 모수 λ=0.2로 설정하였다. μimax는 각각의 국면 i∈{a, b}별로 제약조건 ki에 영향을 받지 않고 투자 가능한 최대 기대수익률을 의미하며, σimin는 최소 변동성을 의미한다.
![[그림 5-2]](/upload//thumbnails/kjfs-53-5-489-g007.jpg)
초기 제약조건에 의해 영향을 받는 경우(j=2), 정책변화 이후 기대수익률 μa과 변동성 σa에 대한 PCER의 변화 (kb =0.35인 경우)
본문 중 3.3.2절의 경우에 해당되는 상황으로 kb<πMb일 때, μa와 σa의 변화에 따른 PCER의 변화를 확인하였다. 사용한 모수는 μb =10%로 설정하였고, 변동성 σb=20%로, 무위험 수익률 rb =ra =4%로 설정하였고, 정책 변경 이전 제약조건 kb는 0.35로 가정하였다. 상대위험회피계수 γ는 2로 설정하였다. 투자 만기 T=5, 빈도 모수 λ=0.2로 설정하였다. μimax는 각각의 국면 i∈{a, b}별로 제약조건 ki에 영향을 받지 않고 투자 가능한 최대 기대수익률을 의미하며, σimin는 최소 변동성을 의미한다.
kb=0.6에 대해서 나타나는 Case 3(ka =0.9, 0.7)의 결과와 Case 4(ka =0.5, 0.3, 0.1)의 기대수익률과 변동성에 대한 PCER의 변화의 경향성은 앞선 3.3.1절의 상황과 크게 다르지 않다. Case 3-1과 Case 4-1에서 고려해야하는 시장상황 변화에 의한 효과는 앞선 3.3.1절에 비해서 조금 약해진 것을 확인할 수 있는데, 이는 3.3.1절과 달리 제약조건 변화 시점 이전에는 최적투자가 불가능한 상황이며, 제약조건 변화 이후 최적투자가 이루어지게 되는 상황이기 때문에 앞선 3.3.1절의 상황보다는|πaM-ka│와 |πavgM-ka│의 차이가 감소하게 된다. 하지만 여전히 시장상황 변화를 고려하는 것이 유리하기 때문에 PCER이 양수가 도출되게 된다.
이러한 결과는 kb =0.35의 Case 3(ka =0.9, 0.7, 0.5)와 Case 4(ka=0.3, 0.1)에서도 동일하게 나타나며 Case 3-1과 Case 4-1에서 kb =0.6보다 더 작은 양수 PCER이 도출되는 이유도 같은 설명이 적용될 수 있다.
하지만 Case 3-2와 Case 4-2에서 발생하는 제약조건 변화가 PCER에 미치는 영향은 kb =0.6의 경우에서 kb =0.35로 갈수록 점차 커지게 된다. 이는│kb-ka│가 커짐에 따라서 제약조건의 변화를 고려하지 않았을 때의 최적투자전략으로부터의 거리(│πaM-kb|)와 제약조건의 변화를 고려하였을 때의 최적투자전략으로부터의 거리(│πaM-ka│)의 차이가 커지기 때문이고, 각각의 영역별로 제약조건의 변화가 PCER에 미치는 영향은 앞선 3.3.1의 설명과 동일한 방식으로 설명이 가능하다.
결과를 종합하면, 기대되는 투자비중 제약조건의 변화(│kb-ka│)가 크면서, 투자비중 제약조건 변화로 인해서 전체 투자 기간동안의 투자 결정이 최적투자와 가깝게 이루어질 수 있는 방향으로 변화하는 경우 PCER이 양수로 도출됨을 확인할 수 있었다. 이는 향후 최적투자비중이 커질 것으로 기대되는 자산들에 대해서 규제가 완화되는 상황, 혹은 그와 반대의 경우를 포함한다.
4. 결론
본 연구에서는 무위험자산과 위험자산으로 구성되어있는 금융시장에서 적립비율에 대한 효용함수를 가진 연기금의 자산배분 문제를 연구하였다. 연기금의 펀드매니저는 위험자산에 할당할 수 있는 투자액이 전체 펀드 자산의 일부분까지만 가능한 투자비중 제약에 당면한다고 가정하였다. 또한, 해당 제약조건은 감독당국의 정책이나 연기금의 상황에 연관된 조건으로서 변경이 가능하며, 해당 정책의 변경 시점은 일회성인 지수 분포를 따른다고 가정하였다. 또한, 시변하는 자산 및 부채 프로세스를 정의함으로써 적립비율의 확률프로세스를 도출하였고, 연기금의 최적 자산배분 문제를 동적 프로그래밍 접근법으로 해결하였다. 이에 따라 최적 자산배분 전략과 펀드매니저의 가치함수를 닫힌 해 형태로 얻을 수 있었다.
한편, 제약조건 변화를 고려한 자산배분안의 효과를 측정하기 위한 측도로 정책변경 등가수익률(PCER)을 정의하였다. 이를 활용하여 투자비중 제약조건의 변화가 펀드매니저의 행태에 미치는 영향도를 분석하였다.
먼저 초기 제약조건으로 인해 규제를 받지 않는 경우(j=1)에서, 제약조건이 더욱 완화되는 상황(ka ≥kb)과 제약조건이 강화되지만 최적투자비중에 영향을 주지는 못하는 상황 (kb>ka≥πM)은 결국 제약조건이 존재하지 않는 자산배분안과 동일하므로 PCER이 0으로 도출되었다. 따라서, 제약조건이 강화되며 최적투자비중에 영향을 주는 상황(kb≥πM>ka, Case 1)을 고려하였고 해당 상황에서는 투자 만기 T와 제약조건 변화 빈도 모수 λ가 증가함에 따라서 모든 ka의 경우에 대해서 PCER이 음수로 도출되었다. 이는 투자 만기가 길어지거나, 빈도 모수가 증가함으로써 최적투자비중으로 투자가 이루어지지 못하는 시간이 길어짐을 의미하므로, 효용의 감소로 이어지기 때문으로 설명할 수 있었다.
한편, 초기 제약조건으로 인해 규제를 당하는 경우(j=2)에서는 앞선 경우(j=1)와 달리, 여러 경우의 상황이 존재하였다. 제약조건이 완화되며 최적투자비중 πM로 투자가 이루어지는 경우(ka≥πM>kb, Case 2-1), 제약조건이 완화되지만 최적투자비중 πM로 투자가 이루어지지는 못하는 경우(πM>ka≥kb, Case 2-2), 제약조건이 강화되는 경우(πM>kb>ka, Case 2-3)를 각각 고려하였으며, Case 2-2의 경우에 해당되는 경우를 조금 더 중점적으로 분석하기 위해 상대적으로 최적투자비중에 가까운 상황(kb =0.6)과 최적투자비중과의 차이가 큰 상황(kb =0.35)을 고려하였다. 두 가지의 경우에서 공통적으로 나타난 특성은 Case 2-3의 경우에는 PCER이 음수로 도출되었지만, Case 2-1 경우와 Case 2-2 경우에 해당하는 ka값을 가질 때, T와 λ에 따른 PCER의 값이 양수로 도출됨을 확인할 수 있었다. 이는 기존 제약조건으로 인해서 제약조건이 없을 때의 최적투자비중으로 투자가 이루어지지 못하던 상황에서 상대적으로 최적투자비중에 가깝게 투자를 실행할 수 있도록 제약조건이 변화하였다는 점을 고려할 때, 투자비중 제약조건의 변화와 같은 정책의 변화를 고려한 연기금의 자산배분안 설정이 중요할 수 있음을 나타낸다.
또한 본 연구에서는 투자비중 제약조건 변화 이전과 이후에 시장 모수(μa , σa)가 변화할 때, PCER의 분석을 투자비중 제약조건이 강화되는 경우와 완화되는 경우로 나누어 분석하였다. 그리고 각각의 모수가 가지는 값의 범위에 따라서 PCER에 정책변화에 따른 영향과 시장상황 변화에 따른 영향을 나누어서 분석하였고, 그 결과 투자비중 제약조건의 변화 방향이 제약조건이 존재하지 않는 상황에서의 최적투자가 이루어질 수 있도록 하는 방향으로 이루어지는 경우에 PCER이 양수로 도출됨을 확인할 수 있었다. 한편, PCER이 음수로 도출되는 여러 상황들이 있음을 확인함으로써 정책변화 위험을 고려하지 않았을 때 발생 가능한 수익률의 손실 상황에 대한 고찰을 할 수 있는 방법론을 제공했다는 점에서 본 연구의 의의가 있다고 할 수 있다.
비록 본 모형이 아직 연기금의 자산배분에 직접적으로 활용되기에는 여러 개선점들이 존재하나, 본 모형을 여러 개의 위험자산이 존재하는 시장과 시장 마찰(예:거래 비용) 등을 고려하는 방식으로 보완 및 확장하여 분석을 진행한다면, 상당히 현실적인 문제에 대한 해법도 추후 발견될 수 있을 것이라 생각한다.
References
Notes
이에 대한 대표적인 예시로 2022년 주식과 채권가격의 동시하락으로 국민연금의 운용수익률은 손실에 해당하는 -8,22%(보건복지부 보도참고자료, 2023.03.02.일자)로 보고되었다.
어떠한 자산들에 자산배분을 수행할지도 연기금의 자산배분 문제에 있어 중요한 문제인데, 주식과 채권과 같은 전통적인 자산군 외에 대체 투자에 대한 필요성 또한 연기금의 수익률 제고를 위해서 제안되고 있다. Won(2017)은 국민연금의 투자 자산군 5개 중에서 대체 투자군을 제외한 4개 자산군(국내주식, 국내채권, 해외주식, 해외채권)만을 사용하였을 때 국민연금의 재정추계 시 사용되는 기대 운용수익률의 타당성을 분석한 연구를 통해, 상기 4개 자산군만을 활용한 최적투자전략을 통해서는 목표 수익률을 달성하기에 충분하지 않다고 하였다. 또한, Park et al.(2015)는 연기금에서 널리 사용되는 평균-분산 최적화 기법을 사용하여 대체 투자 자산군의 투자비중을 결정할 때, 투자비중에 대한 제약조건이 대체 투자 운용 포트폴리오의 효율성에 큰 영향을 끼침을 확인하였다.
Leiboweitz(1994), Hoevenaars et al.(2008), Giamouridis et al.(2017), Jang(2021), Broeders(2021), Chae and Jang(2021) 등이 존재한다.
정확하게 말하자면 연기금에서는 위험자산 포트폴리오 전체를 의미한다. 통상 장기채권, 주식, 대체투자 등을 합쳐 하나의 위험자산군으로 생각할 수 있다. 물론 각 위험자산군을 따로 생각하여 여러 개의 위험자산군이 있는 문제로 본 문제는 확장가능하나 닫힌 해 등을 구하기 힘들다는 단점이 있다. 본 연구에서는 투자비중 제약과 같은 펀드의 운용 제약이 위험자산군 투자비중에 미치는 영향 등에 대해 정책적인 함의를 얻는데 초점을 맞추고 있어 한 개의 위험자산군을 생각해도 충분히 목적을 달성할 수 있었다. 다만 실무적인 적용을 위해서는 다중자산군을 고려하여야 하며, 이 경우 새로운 수리적 해법을 찾아내야 한다. 이는 본 연구의 범위를 넘어서므로 추후 과제로 남긴다.
문제의 기본적인 설정은 Chae and Jang(2021)과 유사하게 설정하였다.
연기금 펀드의 투자기간 동안 여러 번의 투자비중 제약조건의 변화가 발생할 수 있다. 이러한 문제는 전형적인 국면전환(regime-switching)에서의 자산배분 문제이며 본 연구에서와 비슷한 방법으로 해결가능하나 풀이과정은 매우 복잡하다. 본 연구에서는 최대한 간단한 모형으로 투자 제약 관련 정책적 변화가 펀드매니저의 투자행태에 미칠 수 있는 규범적인 경제적 함의를 이끌어내기 위해 1회의 변화를 가정했으며, 이는 실무적으로 펀드매니저가 본인이 고려하고 있는 투자기간(예: 5년) 동안 현재 이후 처음 발생가능한 투자 제약과 관련한 정책적 변화를 예상하고 투자한다는 말과 동일하다.
물론 부채가 임의성을 반영한 확률과정(stochastic process)을 따른다고 가정하는 것이 더 일반적이나, 이 경우 수리적 해법이 쉽지 않다. 본 연구에서는 연기금의 지급금액이 펀드투자기간 동안 추정가능하여 추정치에 맞추어 최적투자안을 설정하는 경우를 가정하였다. 한편, 부채가 확률 프로세스를 따르는 경우의 해의 특이성을 관찰하기 위해 Ang et al.(2013)에서 고려한 바와 같이 부채가 기하브라운운동이면서 자산과 같은 리스크에 노출되어 있다고 가정한 모형도 [부록 4]에서 탐구하였으며, 이 경우에도 본 연구에서의 결과와 비슷한 결과를 얻을 수 있었다. 실제로 자산과 부채의 리스크 원천(source)가 동일하다고 생각하는 것은 최근 보험사가 도입한 IFRS9이나 IFRS17에서 부채의 시가평가 시 자산가격에 매핑하여 평가하는 방법과 동일한 가정을 채택하고 있다고 생각할 수도 있다.
이때, g(t)의 의미는 시점 t의 기대 부채의 현가(Present Value of Expected Liability)로 해석가능하다.
일반적으로는 투자비중 제약조건으로 특정 자산군의 투자액(투자비중)에 관한 상한의 변화 뿐 아니라, 하한의 변화도 존재하는 경우가 있다. 투자비중 제약조건이 변경되지 않는 상·하한이 존재하는 모형은 [부록 5]에서 탐구하였다. 하지만 제약조건의 상·하한이 동시에 변경되는 상황에 대한 모형은 비슷한 방법론으로 솔루션을 구할 수 있으나 경우의 수가 너무 많아 분석이 매우 복잡해진다. 본 연구에서는 펀드매니저의 자산배분 시 투자비중의 제약조건의 변화가 미치는 영향에 대한 연구를 위한 것이므로 하한은 0으로 고정하고 상한(upper bound)의 변화만을 고려하여 원하는 결과를 얻었다.
자세한 계산 과정 및 유도 과정은 [부록 1]에 첨부하였다.
수식 (29)과 (30)의 구체적인 유도 과정과 계산은 [부록 2]에 첨부하였다.
명확한 정의를 위해 모형의 모수가 {μ, σ, k, r}일 때, Vz(t,F)=Vz(t,F; μ, σ,k,r), z ∈ {b, NPC}로 표기한다. 이와 같은 PCER은 통상 금융연구에서 사용되는 확실성등가수익률(certainty equivalent return; CER) 개념을 차용한 것으로 만일 CER 개념을 본 연구에서 정의한다면 비교대상인 벤치마크 모형은 본 연구에서 제안한 모형에서 τ 시간을 고정상수로 정의한 모형, 즉 확정적인(certain) τ인 경우가 될 것이다.
본 연구에서의 모형은 시장모수의 변화도 함께 고려할 수 있다.
아래 식을 유도하는 구체적인 과정은 [부록 3]에 첨부하였다.
[부록 4]에서 유도된 부채가 자산과 같은 임의성을 가진 확률과정을 따르는 경우에는, fij 에 사용되는 ηia, ηjb에 부채와 관련된 파라미터가 들어감으로 인하여 부채의 영향도 고려됨을 설명하였다.
Appendix
부록 (Appendix)
[부록 1] 투자비중 제약 변경 이후의 가치함수(Va) 및 최적투자전략(πta) 유도 과정
[부록 1-1] Case 1-1
본문의 수식 (21)을 수식 (19)에 대입하기 위해서, t와 F에 대해서 미분을 수행하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다:
수식 (19)에 수식 (A.1) ～ (A.3)까지를 대입하면 결과는 수식 (A.4)와 같이 도출된다:
LR(t)의 정의로부터,
[부록 1-2] Case 1-2
위의 [부록 1-1]에서 유도한 것과 큰 차이는 존재하지 않는다. 수식 (A.1) ～ (A.3)까지를 수식 (20)에 대입하면,
이를 정리하면 η2a의 식을 얻을 수 있다:
[부록 2] 투자비중 제약 변경 이전의 가치함수(Vb) 및 최적투자전략(πtb) 유도 과정
해당 경우에서 가능한 최적 자산배분 비중(πtb, πta)의 조합은 각 시점의 투자비중 제약조건과 Merton Solution 간의 대소 관계에 의해서 총 4가지가 존재할 수 있다. πtb의 각각의 경우에 따라서 수식 (26)이 사용될지 수식 (27)이 사용될지가 결정되며, πta의 각각의 경우에 대해서 Va의 형태가 바뀌게 된다.
[부록 2-1] (πtb, πta)= (πMb, πMa)의 경우
πtb= πMb이므로, 수식 (26)이 사용되어야 하며, πta= πMa이므로 수식 (22)의 ηa의 값 중η1a가 사용되어야 한다. 수식 (26)에 대입하기 위해서 Vb의 편미분을 수행하면 다음과 같은 관계들을 얻을 수 있다:
또한, Va와 Vb의 관계는 다음과 같다:
위의 (A.8) ～ (A.11)까지의 관계식을 수식 (26)에 대입하면, 아래 식과 같이 식이 정리된다:
수식 (A.12)의 양변을 Vb로 나누고, LR(t)의 정의로부터 유도되는
여기서 η1b와 c를 수식 (A.14)와 (A.15)와 같이 정의하면,
수식 (A.13)의 형태가 수식 (A.16)과 같이 바뀌게 된다:
이를 풀기 위해서 적분 인자(Integrating Factor) 방법을 활용 할 수 있고, 1차 상미분 방정식의 해를 구하면 수식 (A.17)과 같이 해를 구할 수 있게 된다:
[부록 2-2] (πtb, πta) = (πMb, ka)의 경우
해당 절은 [부록 2-1] 절과 전반적으로 동일한 과정을 거친다. 같은 HJB Equation을 사용하며, 유일한 차이점은 HJB Equation에 사용되는 Va에 들어가는 모수 ηa로η2a가 사용된다는 것이다. 따라서 해당 부분의 계산을 동일하게 수행하면, 수식 (A.18)의 결과를 얻을 수 있다:
[부록 2-3] (πtb, πta) = (kb, πMa)의 경우
위의 [부록 2-1], [부록 2-2] 절과 본 [부록 2-3] 절의 가장 큰 차이점은 Vb의 HJB equation의 형태가 달라진 것이다. 수식 (A.8) ～ (A.11)을 수식 (27)에 대입하고, 계산을 수행하면, 다음과 같은 η˜ij에 관한 1차 상미분 방정식을 도출할 수 있다:
여기서, η2b와 c를 수식 (A.20), (A.21)과 같이 정의하면,
수식 (A.19)에서 주어진 1차 상미분 방정식은 다음과 같이 바뀌게 된다:
따라서 [부록 2-1]절에서 계산한 과정과 동일한 과정 수식 (A.22)에 적용하여 계산을 거치게 되면, 수식 (A.23)과 같은 결과를 도출할 수 있다:
[부록 2-4] (πtb, πta) = (kb, ka)의 경우
해당 절에서의 풀이는 [부록 2-3]절에서의 과정과 동일하며, Va에 사용되는 ηa가η2a가 되었다는 점 이외에 차이가 존재하지 않는다. 따라서 결과는 수식 (A.24)와 같이 주어진다:
[부록 3] PCER 계산식 유도 과정
본문의 수식 (34)에서 정의된 PCER의 식을 수식 (28)에 정리된 Vb의 형태와 수식 (29)에서 계산된 η˜ij를 대입하여 명시적으로 표현하면 다음과 같다:
위 식에서 μ, σ, r, k가 정해져있다면, 아래첨자 i와 j의 값이 정해지게 되며, 따라서 수식 (A.25)의 우변에 존재하는 식의 형태가 정해진다. 한편, 좌변의VNPC의 형태는 μavg, σ2avg, kb, ravg와 α의 값의 관계에 따라 얻어지게 된다.
[부록 3-1] VNPC가 수식 (21)의 Va의 형태를 따르며, 모수로 ηa =η1a를 사용하는 경우
VNPC의 형태가 수식 (21)에 주어진 함수의 형태에 모수로ηa=η1a의 형태를 사용하려면, α는 수식 (A.26)과 같은 범위를 만족해야 한다:
해당 범위를 만족함을 가정한 상황에서, 수식 (A.25)를 전개하면,
이 때,
여기서, ηavga의 형태는 η1a와 동일하므로 다음과 같이 정의된다:
또한, 수식 (A.28)의 우변에 사용된 η˜ij에 수식 (33)의 정의를 사용하여 대입하면, 수식 (A.30)과 같은 식을 얻을 수 있다:
위 식의 우변을 fij라 정의하면 이는 수식 (36)에서의 정의와 일치하며, 양변에 자연 로그를 취한 뒤, 수식 (A.29)를 대입하여 α에 대하여 정리하면, 아래의 수식 (A.31)과 같은 결과가 도출된다:
한편, 수식 (A.26)에서 주어진 조건을 만족하기 위해서는 + 부호의 경우만 성립 가능하고, α의 값이 lower bound보다 크고, upper bound를 넘지 않는
[부록 3-2] VNPC가 수식 (21)의Va의 형태를 따르며, 모수로 ηa=η2a를 사용하는 경우
수식 (21)에 모수 ηa로η2a의 식을 사용하기 위해서는
와 같은 조건이 필요하다. 수식 (A.33)의 조건을 만족한다고 가정하면, 아래와 같이 η2a의 식에 평균 모수를 대입한 ηavga의 식은
와 같이 주어진다. [부록 3-1]절의 수식 (A.27), (A.28), (A.30)의 과정을 동일하게 거친 후, fij의 정의를 활용하여 식을 정리하면 다음과 같은 PCER α의 식을 구할 수 있다:
또한, 수식 (A.35)의 PCER이 정의되기 위한 조건 (A.33)을 만족시키는
[부록 4] 부채가 자산과 같은 리스크에 노출된 경우의 닫힌 해
보다 일반적인 경우를 고려하기 위해서 부채가 기하브라운운동을 따르고 자산과 같은 리스크를 가진다고 가정하였을 때, 본 연구의 결과를 정리하였다. 본문의 수식 (6)에서 정의한 부채의 프로세스 식을 수정하여 수식 (A.37)과 같이 정리할 수 있다:
일반적으로는 주가의 임의성을 설명하는 dWtS와 상관계수 ρ를 가지는 또 다른 기하브라운운동을 부채의 모형에 사용하는 것이 바람직하지만, 그렇게 할 경우 시장의 완비성(completeness)이 깨지게 되어 본 연구에서와 같이 닫힌 해 형태로 해를 구할 수 없고 문제의 풀이가 어려워진다고 알려져 있다. 본 연구에서는 이와 같은 모형에서 부채가 확률과정을 따르면서 닫힌 해를 구할 수 있는 경우인 부채와 자산의 리스크가 동일한 원천(source)에서 기인하는 경우를 가정하였다.
수식 (A.37)과 같이 부채의 프로세스를 특수한 경우로 한정하여 정리하였다. 이토 정리(Ito’s Formula)를 사용해서 본문의 방법론과 비슷하게 적립 비율 F(t)의 프로세스를 유도할 수 있는데, 이는
와 같이 표현된다. 이를 사용하여 HJB equation을 유도하면, 수식 (15), (16)의 일반화된 HJB equation (수식 (A.39, A.40))을 얻을 수 있다:
Case 1: t>τ
Case 2: t≤qtau
위 수식 (A.39), (A.40)을 통해 FOC를 사용하면, 최적투자전략 πtb, πta를 각각 도출할 수 있다. 이때, 본문의 수식 (18), (25)와 같이 πaM,t, πbM,t를 각각 정의하고 McCarthy and Miles(2013), Giamouridis et al.(2017)에서 고려한 바와 같이 부채위험 헷징 비중 πbL,t ,πaL,t를 다음과 같이 정의하면, 최적투자전략 πtb, πta를 수식 (A.41)에서와 같이 표현할 수 있다:
위 수식 (A.41)의 경우를 나누어 [부록 1], [부록 2]에서 유도한 과정을 가치 함수에 대한 형태 가정만 1) Va의 경우,
그리고,
[부록 5] 투자비중 제약조건에 상한과 하한 모두 존재하는 모형
본 부록에서는 제약조건 변화 이후의 가치 함수 Va를 구하는 문제에서 투자비중 제약조건에 상한(ka¯)과 하한(ka_)이 있는 경우의 해를 구하려 한다. 이 때, 0≤ka_<ka¯≤1을 가정하였다. 이 때, 수식 (15)에서 주어진 HJB equation은
로 바뀌는데 이에 대해서도 최적 전략은 아래와 같이 얻어진다:
이러한 상황에서는 본문에서 가능한 경우를 2가지로 나눴던 것과 달리, 3가지로 나눠서 각각 HJB equation을 풀어야 하며, 이는 [부록 1]에서 제시한 풀이와 크게 다르지 않다. 또한, Vb에 대해서도 비슷한 식으로 해법이 도출될 수 있다.