2.1 효율성 측정 지표

Kandel and Stambaugh(1987), Shanken(1987) 등은 자본자산가격결정 모형(capital asset pricing model; CAPM)이 성립한다는 가정하에서 개별 자산(또는 포트폴리오)의 시장 포트폴리오와의 상관계수가 해당 자산의 평균-분산 효율성과 연결되어 있음을 보였다. 구체적으로, 특정 자산과 효율적 포트폴리오 간 상관계수의 제곱은 다음과 같이 샤프비율 제곱의 함수 형태로 표현된다.

여기에서 SR_q =μ⁰_q／σ_q와SR_e =μ⁰_e／σ_e는 각각 어떤 자산 q와 효율적 포트폴리오 e의 샤프비율이고, 이들 두 자산(혹은 포트폴리오)의 수익률을 각각 R_q,t과R_e,t라고 할 때 ρ=Corr[R_q,t, R_e,t]는 두 수익률 간 상관계수이다. 기호 μ와 σ는 수익률R_t의 평균과 표준편차를 나타내며, 위 첨자 0은 무위험 수익률에 대비한 초과수익률(R⁰_t) 또는 평균초과수익률(μ⁰)을 표현하기 위해 사용되었다.⁴⁾ 이 표현식은 다음과 같은 베타 가격결정 방정식(beta pricing equation)과 동치이다.

여기에서 β_q,e는 효율적 포트폴리오 e에 대한 자산 q의 베타(민감도)를 의미한다. 베타의 표현식β_q,e=(σ_q／σ_e)×ρ을 대입하고 정리함으로써 우리는 방정식 (1)을 간단히 도출할 수 있다.

본 연구에서는 상관계수 제곱 ρ²대신 이와 동등한 정보를 갖는 절대 상관계수│ρ│=│SR_q ／SR_e│를 사용하여 산출값의 규모를 합리적으로 조정한다. │ρ│가 클수록 절댓값 기준에서 자산은 더 높은 샤프비율을 갖게 되며, 기하학적으로는 최소 분산 경계에 보다 가깝게 위치한다. 이러한 의미에서 절대 상관계수 │ρ│는 평균-분산 효율성을 측정하는 지표로 간주된다.

Kandel and Stambaugh(1995)는 베타 가격결정 방정식에 기초한 GLS 횡단면 회귀분석의 결정계수, 소위 GLS 결정계수 R²_GLS에 관한 기하학적 해석을 제시했다. 그들은 가격결정 요인의 효율성을 측정하는 지표 ψ=μ²_q ÷ μ²_e를 제안했다. 여기에서 q는 가격결정 요인으로 채용된 자산(포트폴리오)이고 e는 이 자산과 동일한 수익률 분산을 갖는 효율적 포트폴리오이다. 그러므로 효율성 지표 ψ는 평균-분산 공간에서 두 자산(포트폴리오)의 무위험 수익률에 대비한 수직 거리의 비율이다. 그들은 이론적으로 이 지표의 값이 R²_GLS와 동치임을 증명했다.

그들은 또한 수평 거리의 비율에 대한 지표를 제안하고, 그 지표의 값이 베타 가격결정 방정식에 기초한 R²_GLS와 동치임을 증명했다. 이러한 결과에 입각하여 우리는 베타 가격결정 방정식을 평균-분산 공간상의 효율성(수직 거리 또는 수평 거리)과 연결 지을 수 있다.

가격결정 요인이 아닌 어떤 임의의 자산(포트폴리오)에 대해서도 GLS 결정계수 R²_GLS를 산출할 수 있으며, 이 값은 해당 자산의 평균-분산 효율성을 나타낸다. 이때 R²_GLS는 다음과 같이 계산된다.

여기에서 Ω는 각각의 기저자산에 대한 시계열 회귀분석 잔차를 포함하는 집합(εt→)의 분산-공분산 행렬이고, fGLS[X]=λ0,GLS1→+λGLSβ→ 와 FGLS[1→]=μ→GLS01→ 각각 기대수익률 집합(μ→0)에 대한 검정 대상 모형(설명변수: X=[1→, β→])과 기준 모형(설명변수: 1→)의 횡단면 추정 함수이다. 변수 위의 화살표는 벡터를 의미한다. 대상 모형의 추정 함수 파라미터 λ_0,GLS와 λ_GLS는 각각 GLS 횡단면 회귀분석의 절편과 기울기를 나타낸다. 어떤 횡단면 설명력도 갖지 않는 기준 모형의 추정 함수 파라미터 μ→GLS0는 기저자산의 평균초과수익률에 대한 횡단면 평균으로 계산된다.

2.2 비효율성 측정 지표

Gibbons et al.(1989)은 시계열 회귀분석에 기초한 귀무가설 H₀ : α→, 0→을 검정하기 위해 다음과 같은 카이제곱 통계량을 제안했다.

여기에서 Ω_α는 시계열 회귀분석에서 추정된 알파 집합(α→)의 분산-공분산 행렬이고, 이 통계량χ²_GRS는 자유도가 N(기저자산 수)인 카이제곱 분포를 따른다.⁵⁾ 실제로 GRS 카이제곱을 계산하기 위해서는 다음의 산식이 필요하다.

여기에서(1+(μ⁰_q／σ_q)²)는 시계열 회귀분석에서 알파와 베타가 동시에 추정된다는 사실을 반영한 조정계수이고, Ω는 시계열 회귀분석 잔차 집합(εt→)의 분산-공분산 행렬이다. 또한, μ_q⁰와 σ_q는 가격결정 요인으로 채용된 자산 q의 평균초과수익률과 표준편차를 나타내며, T는 데이터의 시계열 크기(분석 기간 길이)를 의미한다.

GRS 카이제곱의 산출값이 주어진 유의수준에 상응하는 임곗값을 초과할 경우, 연구자는 귀무가설을 기각하면서 자산가격결정 모형의 가격결정 능력이 일정 기준에 미치지 못한다는 결론을 내리게 된다.⁶⁾ 이는 해당 모형의 가격결정 요인이 평균-분산 공간에서 비효율적 위치에 놓여 있음을 암시한다. 그러므로 GRS 카이제곱χ²_GRS는 비효율성의 지표이기도 하다. χ²_GRS를 특정 자산의 평균-분산 비효율성을 측정하는 데 사용할 수 있다.

자산가격결정 모형의 가격결정 오차(pricing error)는 절편을 포함하지 않는 횡단면 회귀분석의 잔차(e→)에서 식별된다. Cochrane(2005) 등은 GLS 횡단면 회귀분석을 통해 식별된 가격결정 오차 e→ 가 시계열 회귀분석의 알파 α→와 같거나 유사함에 착안하여, 귀무가설 H₀ : e→, 0→을 검정하는 카이제곱 통계량을 제안했다.

여기에서 Ω_e는 가격결정 오차 집합의 분산-공분산 행렬이고, 이 통계량 χ²_CS는 자유도가 N-1인 카이제곱 분포를 따른다. 이는 다시

로 표현된다. GRS 카이제곱의 경우처럼, (1+(λ_GLS／σ_q)2)는 베타 추정치의 불확실성을 반영하는 조정계수이고, λ_GLS는 GLS 횡단면 회귀분석의 기울기이다.

횡단면 카이제곱 χ²_CS가 가격결정 오차의 제곱합으로 정의된다는 사실은, χ²_CS를 통해 가격결정 요인의 평균-분산 비효율성을 측정할 수 있는 가능성을 암시한다. 본 연구에서는 횡단면 카이제곱을 비효율성 지표로 간주하고, 이것을 특정 자산(또는 포트폴리오)의 비효율성을 측정하는 데 활용한다.

횡단면 카이제곱이 가격결정 요인에 대한 가격결정 오차의 제곱합이라면, 이에 대칭적으로 Hansen and Jagannathan(1997)에 의해 제안된 HJ 제곱거리는 확률 할인 요인(stochastic discount factor; SDF)에 대한 가격결정 오차의 제곱합이다.⁷⁾ HJ 제곱거리는 다음과 같이 정의된다.

여기에서 SDF_t는 참인 확률 할인 요인(correctly specified true SDF)을, SDF_t^a는 거짓인 확률 할인 요인(incorrectly or approximately specified false SDF)을 표현한다. 이때 두 확률 할인 요인은 평균이 서로 같도록, 즉 SDF_t뿐 아니라SDF_t^a도 무위험 수익률(Rf)을 정확히 프라이싱할 수 있도록 정규화된다: E[SDF_t]=E[SDF^a_t]=1／R_f. 이 정규화의 결과로 E[(SDF_t-SDF^a_t)²] = Var[SDF_t-SDF^a_t]의 관계가 성립한다.

HJ 제곱거리는 기본 가격결정 방정식1=E[SDF_t ⋅R_i,t]에서 도출한 변동성 하한 부등식 (volatility bound)

과 밀접한 관계를 갖는다. 이 변동성 하한을 HJ 제곱거리의 정의식에 대입하고, 확률 할인 요인의 평균을 무위험 수익률의 역수로 치환하면, HJ 제곱거리를 다음과 같이 표현할 수 있다.

이처럼 HJ 제곱거리 D_SDF는 주어진 자산 집단에서 관찰되는 (조정된) 알파 제곱 중 가장 큰 값과 동일하다. 이는 가격결정 요인으로 인한 가격결정 오차 중 가장 큰 값이 확률 할인 요인(SDF_t^a) 자체의 오차(D_SDF)를 결정한다는 사실을 보여준다. 따라서 HJ 제곱거리를 카이제곱 통계량(χ²_GRS, χ²_CS)처럼 평균-분산 비효율성 지표로 간주할 수 있다. HJ 제곱거리는 가격결정 요인이 아닌 특정 자산의 비효율성을 측정하는 데에도 활용될 수 있다.

Jobson and Korkie(1982)는 주어진 자산 집단(기저자산)에 대한 최적 투자를 통해 이상적으로 달성 가능한, 즉 효율적 포트폴리오 e의 최대 샤프비율 제곱과 검정 대상 가격결정 요인으로 채용된 자산 q의 샤프비율 제곱의 차이를 통해, 다음과 같이 해당 가격결정 요인의 미달성과를 측정했다.

그들은 귀무가설 H₀∶SR_q²=SR_e² (즉, H₀∶ΔSR² =0)을 검정함에 있어 여러 통계량을 제안했는데, 이들 통계량은 모두 미달성과 ΔSR²를 충분 통계량(sufficient statistic)으로 포함한다.

JK 미달성과는 다음과 같이 표현될 수도 있다.

여기에서 Ω는 시계열 회귀분석 잔차 집합(εt→)의 분산-공분산 행렬이다. 식 (12)에 따르면, ΔSR²가 클수록 가격결정 요인의 샤프비율(SR_q²)이 이상적인 기준점(SR_e²)에 더욱 미달해 있음을 의미한다. 또한, 식 (13)에 따르면, ΔSR²가 크다는 것은 알파로 대표되는 가격결정 오차가 크다는 것을 의미한다. 그러므로 JK 미달성과는 평균-분산 비효율성 지표이다.

3.1 분산-공분산 행렬 계산

대규모 횡단면 표본에서 적절한 분산-공분산 행렬을 추정하기 위해, 본 연구는 차익거래가격결정 이론(arbitrage pricing theory; APT)의 잔차 가정을 차용하는 아이디어를 제안한다. APT는 잔차 가정 E[ε_i,tεj,t]=0 (i≠j)을 포함하여 다음과 같은 요인구조(factor structure)를 상정한다.⁹⁾

여기에서 {f_1,t, … , f_K,t}는 K개의 공통 위험인자(pervasive risk)로서 가상의 차익 포트폴리오 (arbitrage portfolio)를 구성함으로써(Var[∑iNωiεi,t]→0) 식별되는 위험이다. 잔차 가정이 적용된 수익률 분산-공분산 행렬은 다음과 같다.

여기에서 공통 위험인자 간 상관관계를 허용한다면, 첫째 항은 Var[∑k=1Kβ→kfk,t]로 표현된다.

주어진 수익률 집합에서 공통 위험인자를 식별할 때는 주성분 분석(principal component analysis; PCA)을 사용한다. 먼저 T×N차원의 수익률 행렬 R에 대해 정보 행렬 R ’R을 계산하고, 이것을 다음과 같이 대각화한다.¹⁰⁾

여기에서 Λ는 N개의 고윳값(eigenvalue)을 포함하는 대각행렬이고, P=[p→1 ,…,p→N]는 N×N차원 행렬로서 직교하는 N개의 고유벡터(eigenvector)를 포함한다. 대각화의 결과로 분리된 행렬 P를 사용하여 K개의 주성분을 포함한 T×_K차원 점수 행렬 Z_K =[z→1, …,z→K]=RP_K를 도출할 수 있다. 일반적으로 주성분 수 K는 주어진 기저자산 수 N보다 작게 설정한다.

수익률 행렬을 전체(N개) 주성분으로 표현하면 다음과 같다.

여기에서 주성분은 서로 직교한다(즉, Z ’Z=P ’R ’RP=Λ). 수익률 행렬을 K개의 주성분으로 표현하면 다음과 같다.

여기에서 ZKP′K=∑j=1Kz→jp→′j와 E=∑j=K+1Nz→jp→′j는 상호 직교성을 갖는다. 식 (18)은 수익률의 선형적 요인구조가 되며, 오직 K개의 열을 가진 점수 행렬(Z_K)은 수익률 집합(R)의 분산을 최대화한다.¹¹⁾

위 수익률 표현에 대응하는 분산-공분산 행렬은 다음과 같다.

여기에서 첫째 항은 K개의 주성분이 기저인 저차원 공간에 사영된 수익률 분산이고, 둘째 항은 수익률의 고유 변동성을 나타낸다. 주성분 분석을 통한 차원 축소의 결과에도 불구하고, 대규모 횡단면 표본에서는 모든 성분(Σ, Var[(Z_KP^’_K)^’_t], Var[E^’_t])이 특이행렬이다. 그러나 APT의 잔차 가정을 Var[E^’_t]에 적용하여 이것을 가역행렬(invertible or nonsingular matrix)로 변환하면, 분산-공분산 행렬도 다음과 같은 가역 행렬(invertible matrix)이 된다.

이제 적절한 분산-공분산 행렬(∑^)을 추정하고, 그 역행렬(∑^-1)을 계산할 수 있다.

3.2 자산가격결정 지표를 활용한 두 가지 접근법

일반적으로 자산가격결정 지표는 주어진 기저자산 데이터상에서 가격결정 요인의 가격결정 능력을 평가하는 데 사용된다. 그러나 본 연구에서는 자산가격결정 지표의 활용 범위를 확장하여 이것을 펀드 성과 평가에 적용한다. 첫째로, 기저자산에 주식 집단(T×N차원 표본 데이터)을 두고, 가격결정 요인을 관심 펀드(T×1차원)로 치환하는 접근을 고려한다. 이렇게 산출된 자산가격결정 지표로부터 해당 펀드의 효율성(또는 비효율성)을 측정한다.

둘째로, 어떤 펀드 집단이 동일한 벤치마크를 추종한다고 할 때 기저자산에 이러한 펀드 집단을 두고, 가격결정 요인을 공통된 벤치마크로 치환하는 접근을 고려한다. 이렇게 산출된 자산가격결정 지표로부터 공통 벤치마크의 효율성(또는 비효율성)을 측정한다. 벤치마크 효율성이 낮다면(높다면) 해당 펀드 집단의 효율성이 상대적으로 높은 것(낮은 것)으로 해석한다.

첫째 접근법에서는 개별 펀드의 성과에 대한 직접적인 평가 결과를 제공하고, 둘째 접근법에서는 펀드 집단의 성과에 대한 간접적인 평가 결과를 제공한다. 두 접근법의 특징과 차이를 보다 실질적으로 이해하기 위해, 다음 절에서는 실제 한국 표본 데이터상에서 두 접근법이 적용되는 예를 보여주고 주요 실증 결과를 보고한다.

3.3 한국 펀드 산업 분석

본 실증분석에서 사용하는 데이터는 투자자 측면(investor side)이 아닌 운용사 측면(manager side)의 펀드 데이터이다. 투자자 측면의 펀드는 시장에서 거래되는 자산(traded asset)인데, 많은 경우 펀드 매니저가 운용하는 특정 펀드의 지분으로 구성된 “복제품(replicate)” 혹은 다양한 운용펀드의 포트폴리오에 지나지 않는다. 따라서 투자자 측면에서 판매펀드 간 정보는 중첩되고, 수익률 집합 내 다중공선성으로 인해 자산가격결정 지표가 편향되거나 아예 계산되지 않는다. 이러한 문제를 피하기 위해 운용사 측면의 펀드, 즉 운용펀드를 실증분석에 사용한다. 운용사 측면에 있는 운용펀드는 “원시자산(primitive asset)”이고, 따라서 다중공선성의 영향에서 비교적 자유롭다.

분석 기간은 2008년부터 2023년까지이고, 분석 대상은 주식형 한국 펀드(Korea-based fund)의 월간 수익률이다. 사용된 펀드 데이터는 에프앤가이드(FnGuide)의 FnSpectrum에서 입수했다.¹²⁾ 펀드 연구에서 운용펀드 또는 판매펀드를 적절히 선택해 사용하는 것은 중요하며, 이에 대한 이해를 돕기 위해 <부록>에서 펀드의 계층구조 및 운용펀드·판매펀드의 구별에 관한 데이터베이스 사용법을 설명한다.

본 실증분석은 자산가격결정 지표를 활용하는 첫째 접근법을 적용함에 있어 한국거래소에 3년 이상 상장된 보통주 주식 집단을 기저자산으로 설정했고, 유형별 펀드 집단 포트폴리오(aggregated fund portfolio)를 검정 대상으로 두었다. 이때 주식 수익률 데이터는 에프앤가이드의 DataGuide에서 입수했다. 펀드 집단 포트폴리오로는 다음 세 유형을 고려했다.

1) 국내 주식형 적극적 관리 펀드 집단(Active),

2) 국내 주식형 소극적 관리 펀드 집단(Passive),

3) 국내 주식형 전체 펀드 집단(Total).¹³⁾

펀드 집단 포트폴리오의 대표 수익률은 에프앤가이드의 ‘그룹 수익률’ 산식을 따라 계산했다. <표 1>의 상단에서 이들 펀드 집단 포트폴리오의 수익률 분포를 확인할 수 있다.

<표 1>

Summary Statistics: 2008-2023

이 표는 다양한 투자 포트폴리오별 수익률 통계량 및 스타일을 제시한다. 표의 상단에서는 펀드 집단 포트폴리오를, 중단에서는 벤치마크 포트폴리오를, 하단에서는 접촉 포트폴리오로서의 효율적 포트폴리오를 보여준다. 포트폴리오의 스타일은 규모 요인(SMB)과 가치 요인(HML)에 대한 기울기 계수(민감도)로 평가된다.

[그림 1]은 첫째 접근법에 사용된 주식 집단(기저자산)의 최적 포트폴리오와 두 펀드 집단 포트폴리오(Active, Passive)의 수익률에 대한 기하학적 관계를 시각적으로 보여준다. 원뿔 형태의 최소 분산 경계(실선)에 위치하게 되는 자산(또는 포트폴리오)은 최대 샤프비율을 갖는 것들이다. 그중 위험 자산만으로 구성된 접촉 포트폴리오(tangency portfolio)는 완전 시장(complete market)에 참가한 합리적 투자자들이 공통적으로 투자해야 하는 최적, 효율적 포트폴리오이다. <표 1>의 하단에서 국내 주식 집단의 효율적 포트폴리오(Total, stocks)의 수익률 분포를 확인할 수 있다.

[그림 1]

Minimum-Variance Frontier for All Individual Stocks: 2008-2023

이 그림은 최적 포트폴리오(Optimally invested)와 적극적 관리 펀드 집단(Actively managed) 및 소극적 관리 펀드 집단(Passively managed)의 평균-분산 분석 결과를 시각적으로 보여준다. 최적 포트폴리오는 국내 주식 집단(기저자산)으로 구성되어 있으며, 최대 샤프비율을 갖는 이상적인 포트폴리오를 나타낸다. 이 최적 포트폴리오는 접촉 포트폴리오로서 두 최소 분산 경계(MV frontiers including/excluding RF)의 접점에 위치한다.

그림에서 알 수 있듯이 주식 집단에 대한 최소 분산 경계의 기울기, 즉 달성 가능한 최대 샤프비율(SR_e =μ_e⁰ /σ_e)는 3.711로 높은 편이다. 이는 2008년부터 2023년까지의 주식 시장에 상당히 큰 투자기회(investment opportunity)가 있었음을 시사한다. 이에 반해 그 경계 내부에 위치한 국내 주식형 적극적 관리 펀드 집단의 포트폴리오(Active)와 소극적 관리 펀드 집단의 포트폴리오(Passive)가 실제로 달성한 종합적인 성과는 매우 저조하다. 이들은 거의 0에 가까운 샤프비율을 갖는다. 역설적이게도, 적극적 관리 펀드의 평균적 변동성(5.005%/월)은 소극적 관리 펀드의 평균적 변동성(5.855%/월)보다 낮다. 그런데도 적극적 관리 펀드 집단의 샤프비율(0.024)은 소극적 관리 펀드 집단의 샤프비율(0.051)보다 오히려 낮다. 이는 적극적 관리 펀드가 상대적으로 더욱 낮은 투자 수익률을 기록했음을 보여주는 결과이다.

<표 2>는 펀드 집단 포트폴리오에 대한 여섯 가지 자산가격결정 지표의 구체적인 산출값을 보여준다. 이 표를 통해 소극적 관리 또는 능동적 관리 펀드 집단의 성과를 세밀하게 확인할 수 있다. 수치적으로 드러난 가장 큰 특징은 두 펀드 집단 간 자산가격결정 지표의 산출값이 샤프비율에 따라 정렬되는 경향을 보인다는 것이다. 샤프비율이 상대적으로 낮은 적극적 관리 펀드 집단(Active)의 경우, 효율성 지표(│ρ│, R²_GLS)의 값이 상대적으로 낮은 반면 비효율성 지표(χ²_GRS, χ²_CS, D_SDF, ΔSR²)의 값은 상대적으로 높다. 샤프비율이 상대적으로 높은 소극적 관리 펀드 집단(Passive)의 경우에는 반전된 패턴이 발견된다. 2장의 이론적 예측과 정확히 부합한다.

<표 2>

Fund Evaluation via Approach I: 2008-2023

이 표는 서로 다른 펀드 집단 포트폴리오(Agg fund portfolio)에 적용된 여섯 가지 자산가격결정 지표의 산출값을 제시한다. 효율적 포트폴리오는 국내 주식 집단(기저자산)으로 구성된 접촉 포트폴리오이며, 각각의 펀드 집단 포트폴리오가 검정 대상인 가격결정 요인으로 취급된다.

한편, 전체 펀드 집단(Total)에 대한 자산가격결정 지표 산출값은 다른 두 펀드 집단(부분집합)의 지표 산출값 중간에 있다. 샤프비율 역시 다른 두 펀드 집단의 중간 수준인 0.037이다. 이 수치는 효율적 포트폴리오의 사프비율 3.711에 비해 턱없이 낮은데, 2008년부터 2023년까지 국내 주식형 펀드의 종합적인 성과가 상당히 저조했음을 알 수 있다.

그다음, 본 실증분석은 자산가격결정 지표를 활용하는 둘째 접근법을 적용함에 있어 유형별 펀드 집단을 기저자산으로 설정했고, 각 펀드 집단의 공통된 벤치마크를 검정 대상으로 두었다. 펀드 집단으로는 다음 일곱 가지 유형을 고려했다.

1) 국내 주식형 적극적 관리 펀드 집단(Active),

2) 국내 주식형 소극적 관리 펀드 집단(Passive),

3) 국내 주식형 전체 펀드 집단(Total),

4) 해외 주식형 일본 펀드 집단(Japan),

5) 해외 주식형 중국 펀드 집단(China),

6) 해외 주식형 인도 펀드 집단(India),

7) 해외 주식형 베트남 펀드 집단(Vietnam).¹⁴⁾

펀드 수는 펀드 집단마다 다르며, 분석 기간 중 3년 이상 운용된 펀드만 포함했다.

국내 주식형 펀드에 대응하는 벤치마크로 국내 주식 시장 포트폴리오(market portfolio)의 대용치인 KOSPI를 사용했고, 해외 주식형 펀드에 대해서는 일본은 MSCI Japan Index, 중국은 MSCI China Index, 인도는 MSCI India Index, 베트남은 MSCI Vietnam Index을 벤치마크로 설정했다. 벤치마크의 수익률은 지수(index)의 배당수익과 외화환산손익을 반영한 수익률로 계산했다.^15), <표 1>의 중단에서 이들 벤치마크 포트폴리오의 수익률 분포를 확인할 수 있다.

[그림 2]는 둘째 접근법에 사용된 국내 주식형 전체 펀드 집단(기저자산)의 최적 포트폴리오와 벤치마크 KOSPI의 수익률에 대한 기하학적 관계를 보여준다. 이 최적 포트폴리오의 수익률 분포(Total, funds)는 <표 1>의 하단에서 확인할 수 있다. 국내 펀드 집단에 대한 최소 분산 경계의 기울기(즉, 최적 포트폴리오의 샤프비율)는 3.909로 높은 편이다.^16), 반면, 경계 내부에 위치한 벤치마크의 샤프비율은 0.049로 매우 낮다. 시장 포트폴리오의 대용치로 사용되는 KOSPI가 최소 분산 경계에서 멀리 떨어져 있다는 것은, CAPM이 국내 시장에서 제대로 작동하지 않고 있었음을 보여주는 결과이다.¹⁷⁾

[그림 2]

Minimum-Variance Frontier for All Individual Funds: 2008-2023

이 그림은 최적 포트폴리오(Optimally invested)와 벤치마크 포트폴리오(Benchmark)의 평균-분산 분석 결과를 시각적으로 보여준다. 최적 포트폴리오는 국내 주식형 펀드 집단(기저자산)으로 구성되어 있으며, 최대 샤프비율을 갖는 이상적인 포트폴리오를 나타낸다. 이 최적 포트폴리오는 접촉 포트폴리오로서 두 최소 분산 경계(MV frontiers including/excluding RF)의 접점에 위치한다. 벤치마크 포트폴리오로는 KOSPI가 사용되었다.

벤치마크 KOSPI의 샤프비율은 0.049인데, 앞서 살펴본 국내 주식형 개별 펀드의 평균적 샤프비율(즉, 국내 주식형 전체 펀드 집단 포트폴리오의 샤프비율)은 이보다 낮은 0.037을 기록했다. 추적 오차 제약하에서 잘 관리되는 펀드는 벤치마크보다 높은 샤프비율을 가져야 하지만(Roll, 1992), 실제 분석 결과에서는 펀드의 샤프비율이 벤치마크보다 낮게 나타났다. 적극적 관리 펀드의 평균 샤프비율(0.024)은 더 낮으며, 오직 수동적 관리 펀드만이 벤치마크보다 높은 샤프비율(0.051)을 보였다.

이제 <표 3>의 패널 A에서 국내 주식형 펀드 집단에 대한 여섯 가지 자산가격결정 지표의 산출값을 확인해 보자. 펀드 집단 간 지표 산출값에 일정한 패턴이 관찰된다. 최적 포트폴리오의 샤프비율(SR_e)이 가장 낮은 펀드 집단, 즉 적극적 관리 펀드 집단의 경우, 벤치마크의 효율성을 측정하는 지표(│ρ│, R²_GLS)의 값이 상대적으로 높은 반면 벤치마크의 비효율성을 측정하는 지표(χ²_GRS, χ²_CS, D_SDF, ΔSR²)의 값이 상대적으로 낮다. 펀드 집단의 효율성과 벤치마크의 효율성이 서로 반대로 측정된다는 점을 고려하면, 이러한 결과는 예상될 수 있었다.

<표 3>

Fund Evaluation via Approach II: 2008-2023

이 표는 서로 다른 펀드 집단(Individual funds)에 적용된 여섯 가지 자산가격결정 지표의 산출값을 제시한다. 효율적 포트폴리오는 해당 펀드 집단(기저자산)으로 구성된 접촉 포트폴리오이며, 벤치마크 KOSPI가 검정 대상인 가격결정 요인으로취급된다.

전체 펀드 집단의 달성 가능한 최대 샤프비율(3.909)이 다른 두 펀드 집단(부분집합)의 최대 샤프비율(2.797, 2.900)보다 높게 나타난 것, 이에 따라 벤치마크의 효율성 지표 산출값이 상대적으로 낮고 비효율성 지표 산출값이 상대적으로 높은 것도 예상될 수 있었다. 전체 펀드 집단에 속한 펀드 수(590개)가 다른 두 펀드 집단의 펀드 수(각각 289개, 301개)보다 많아 더 큰 투자기회를 제공하기 때문이다. 공정한 펀드 성과 비교를 위해서는 펀드 수가 비슷한 적극적 관리 펀드 집단과 소극적 관리 펀드 집단의 산출값을 비교하는 것이 바람직하다.

표의 패널 B는 해외 주식형 펀드 집단에 대한 분석 결과를 제시한다. 중국에 투자한 펀드의 수(36개)가 다른 국가에 투자한 펀드의 수보다 훨씬 많고, 이에 따라 중국 투자 펀드 집단의 최대 샤프비율(1.385) 역시 상대적으로 높다. 공정한 비교를 위해 펀드 수가 비슷한 일본, 인도, 베트남 투자 펀드 집단을 비교 대상으로 둘 경우, 베트남, 일본, 인도 순으로 최대 샤프비율(최적 포트폴리오의 샤프비율 SR_e)이 높은 것으로 나타났다. <표 1>의 하단에서 해외 국가별 펀드 집단 포트폴리오의 상세한 수익률 분포를 확인할 수 있다.

대부분의 자산가격결정 지표 값도 샤프비율에 따라 잘 정렬되어 있다. 자산가격결정 지표에 근거하여 세 해외투자 펀드 집단의 성과를 평가해보면, 인도 투자 펀드 집단은 벤치마크 대비 성과가 가장 저조했고(│ρ│=0.1740, R²_GLS=0.4853, χ²_GRS=18.2, D_SDF=0.105, ΔSR² =0.106), 베트남 투자 펀드 집단은 벤치마크 대비 성과가 가장 우수했다(│ρ│=0.0016, R²_GLS=0.0009, χ²_GRS=33.1, D_SDF=0.259, ΔSR² =0.260).

4.1 강건성 검사

자산가격결정 모형을 검토하는 많은 실증연구는 소규모 주식 포트폴리오 표본을 기반으로 진행된다. 주로 25개의 규모-가치 포트폴리오를 활용하는 이 방식에는 장단점이 공존하지만, 이에 대한 판단을 보류하고 본 연구는 강건성을 검사하기 위해 추가적으로 포트폴리오 수준에서 펀드 평가의 첫째 접근법을 적용한다.¹⁸⁾

<표 4>의 패널 A는 규모-가치 포트폴리오를 기저자산으로 사용하여 개별 펀드 포트폴리오의 효율성을 분석한 결과를 보여준다. 대부분의 자산가격결정 지표(│ρ│, R²_GLS, χ²_CS, D_SDF, ΔSR²)는 소극적 관리 펀드가 적극적 관리 펀드보다 높은 효율성을 보인 것으로 지시했으며, 오직 하나의 지표(χ²_GRS)가 반대 결과를 나타냈다. 개별 주식 수준의 분석과 마찬가지로, 포트폴리오 수준에서의 결과도 소극적 관리 펀드의 높은 효율성을 일관되게 지지했다. 이는 본 연구가 제안한 첫째 접근법의 강건성을 뒷받침한다.

<표 4>

Different Basis Assets for Robustness Checks: 2008-2023

이 표의 패널 A는 서로 다른 펀드 집단 포트폴리오에 적용된 여섯 가지 자산가격결정 지표의 산출값을 제시한다. 지표 산출에 사용된 효율적 포트폴리오는 25 규모-가치 포트폴리오(기저자산)로 구성된 접촉 포트폴리오이며, 각각의 펀드 집단 포트폴리오가 검정 대상인 가격결정 요인으로취급된다. 반면, 패널 B는 서로 다른 스타일의 펀드 집단에 적용된 여섯 가지 자산가격결정 지표의 산출값을 제시한다. 효율적 포트폴리오는 해당 펀드 집단(기저자산)으로 구성된 접촉 포트폴리오이며, 벤치마크 KOSPI가 검정 대상인 가격결정 요인으로 취급된다.

펀드 집단의 유형에 따라 펀드 투자자의 선호 체계와 펀드 매니저의 운용 목표가 달라진다. 따라서, 펀드 집단이 어떻게 분류되었는지에 따라 그 성과는 다르게 측정될 것이다. 3.3절에서는 펀드 집단을 투자 적극성과 국가별로 분류하여 이들 펀드 집단의 효율성을 평가했으며, 분석 결과 대부분의 자산가격결정 지표에서 일치하는 결론을 도출했다.

이 절에서는 펀드 스타일을 기준으로 펀드 집단을 분류하고, 각 스타일 집단에 대해 펀드 평가의 둘째 접근법을 적용하는 추가적인 분석을 수행한다. Sharpe(1992)의 방식을 따라, 먼저 다음 회귀분석을 통해 기울기 계수 s와 h를 추정한다.

여기에서 R⁰_q,t는 대상 펀드 q의 초과수익률이고, SMB_t와 HML_t은 각각 규모 요인과 가치 요인이다. 두 기울기 계수 s와 h는 펀드가 포함하는 주식의 평균적인 규모와 가치를 대표하며, 이들의 조합으로 펀드의 스타일이 결정된다: 계수 s가 높은(낮은) 값의 펀드는 소형(대형) 주식을 많이 포함하는 스타일로, 계수 h가 높은(낮은) 값의 펀드는 가치(성장) 주식을 많이 포함하는 스타일로 평가된다.

<표 4>의 패널 B는 규모 스타일(s)과 가치 스타일(h)에 따라 분류된 여섯 가지 펀드 집단의 효율성 평가 결과를 보여준다. 대부분의 자산가격결정 지표에서 일관된 결론을 보였는데, 이는 둘째 접근법의 강건성을 뒷받침한다. 구체적으로 규모 스타일 상위 30% (Hi 30% of s)와 가치 스타일 하위 30% (Lo 30% of h) 펀드 집단은 상대적으로 높은 효율성을 보였다. 반면, 규모 스타일 중앙 40% (Med of s)와 가치 스타일 중앙 40% (Med of h) 펀드 집단의 효율성은 상대적으로 낮게 측정되었다.

추가로, KOSPI 대신KOSPI200을 벤치마크로 사용한 후 국내 주식형 펀드 집단에 대해 둘째 접근법을 적용했다. <표 1>에서 확인할 수 있듯이 KOSPI와 KOSPI200의 수익률 분포는 매우 유사하며, 두 지수 간 효율성도 상당히 일치한다. 지면 관계상 보고하지는 않았지만, KOSPI200을 벤치마크 사용했을 때 <표 3>의 패널 A와 유사한 결과를 얻었다. 이는 본 연구가 제안한 둘째 접근법의 강건성을 뒷받침하는 중요한 증거이다.¹⁹⁾

4.2 다른 펀드 평가 지표들

펀드 성과를 평가하는 전통적인 지표에는 실무에서 널리 사용되는 알파(Jensen, 1968), 베타(Treynor and Mazuy, 1966; Fama, 1972; Henriksson and Merton, 1981), 샤프비율 (Sharpe, 1966), 트레이너비율(Treynor, 1965) 외에도 알파 분산(Jobson and Korkie, 1982; Fama and French, 2015), 트레이너비율 분산(Jobson and Korkie, 1981), 정보비율(Grinold, 1989; Roll, 1992; Grinold and Kahn, 1999; Jorison, 2003), 평가비율(Treynor and Black, 1973) 등이 포함된다. 이 절에서는 이들 펀드 평가 지표에 대한 간단한 보충 설명을 제공하고, 자산가격결정 지표와의 공통점과 차이점을 직관적으로 이해할 수 있도록 돕는다.

알파 분산(dispersion of alphas)은 다음과 같이 정의된다.

여기에서 Avg는 횡단면 평균을 의미한다. 알파(α_i)의 분산은 평균초과수익률(μ_i⁰)의 분산으로 정규화되었다. 이는 식별된 가격결정 요인이 없을 때 α_i가 μ_i⁰로 수렴한다는 점에 착안한 조치이다.

알파 분산은 알파에 관한 귀무가설(null hypothesis of equal Jensen alphas)에 근거한다.

이 귀무가설은 2.2절에서 살펴본 귀무가설H₀∶SR_q²=SR_e²과 수학적으로 동일하다. 따라서, 알파 분산은 본질적으로 평균-분산 효율성(샤프비율)을 측정한다. 알파 자체가 펀드의 수익률 측면을 측정하는 것에 반해 알파의 분산이 펀드의 효율성 측면을 측정한다는 점으로부터 효율성의 개념이 갖는 포괄성을 이해할 수 있다.

트레이너비율 분산(dispersion of Treynor ratios)은 다음과 같이 정의된다.

여기에서 트레이너비율TR_i =μ_i⁰/β_i,q은 베타(β_i,q)와 평균초과수익률(μ_i⁰)의 비율이고, 베타는 펀드 q를 단일 가격결정 요인으로 둔 시계열 회귀분석의 기울기 계수이다.

트레이너비율 분산은 트레이너비율에 관한 귀무가설(null hypothesis of equal Treynor ratios)에 근거한다.

여기에서 TR_q =μ_q⁰/β_q,q =μ_q⁰및 β_q,q=1이 성립한다. 트레이너비율은 알파의 정규화 형태로 표현되므로(TR_i =α_i/β_i,q+μ_q⁰), 트레이너비율에 관한 귀무가설은 알파에 관한 귀무가설과 동등함이 입증된다. 따라서, 트레이너비율 분산은 본질적으로 평균-분산 효율성(샤프비율)을 측정한다.

정보비율 제곱(squared information ratio)은 다음과 같이 계산된다.

여기에서 μ_TE와 σ_TE는 추적 오차의 평균과 분산을 나타내고, 추적 오차는 펀드 q와 벤치마크 b의 수익률 차이 R_TE,t=R_q,t-R_b,t로 정의된다. 정보비율은 주어진 추적 오차 제약하에서 벤치마크 대비 평균초과수익률을 극대화하거나, 주어진 초과수익률 목표하에서 추적 오차를 극소화하는, 펀드 매니저의 최적화 문제와 연결되어 있다.

이 최적화 문제의 해는 다음과 같이 도출된다.

여기에서 ω→TE는 추적 오차 포트폴리오의 가중치(RTE,t=ω′→TER→)를, μ→와 Σ는 수익률 집단(R^→)의 평균과 분산을 나타낸다. 이 해의 파라미터 μGMV=(μ→′∑−11→)/(1→′∑−11→)와 d=(μ→−μGMV1→)′∑−1(μ→−μGMV1→)는 주식 투자자의 최적화 문제의 해에서도 발견된다. 식 (28)은 초과수익률 공간에서의 최소 분산 경계를 표현하는 방정식이기도 하며, 이 최소 분산 경계의 기울기는 ±√d이다. 따라서, 최소 분산 경계에 위치하게 되는 최적 추적 오차 포트폴리오는 IR=±√d의 정보비율을 갖는다.

정보비율 제곱(IR²)은 초과수익률 공간에서 펀드의 평균-분산 효율성을 측정한다. 이는 절대수익률 공간에서 샤프비율 제곱(SR²)이 펀드의 평균-분산 효율성을 측정하는 것과 유사하다. 그러나 두 효율성 지표는 동등하지 않다. 최대 샤프비율을 달성하는 펀드는 최대 정보비율을 달성할 수 있지만, 그 반대의 경우는 성립하지 않는다. 추적 오차 제약을 포함하는 정보비율은 제약이 없는 샤프비율에 비해 덜 보수적인 효율성 지표로 간주된다.

평가비율 제곱(squared appraisal ratio)은 다음과 같이 계산된다.

여기에서 α_n와 σ_ε =Std[ε_n,t]는 오래된 투자기회(R_b,t)에 대한 새로운 투자기회(R_n,t)의 시계열 회귀분석에서 도출되는 파라미터이다.

알파(α_n)는 오래된 투자기회 대비 새로운 투자기회의 평균초과수익률을 의미하고, 평가비율(AR)은 이를 정규화한 변수이다.

이번에는 펀드 매니저가 아닌, 펀드 투자자의 최적화 문제를 고려해보자. 펀드 투자자는 새로운 펀드 (투자기회)를 발견한 후, 가중치 ω를 적절히 조절하여 자신의 포트폴리오 R_q,t =ωR_n,t+(1-ω)R_b,t의 샤프비율을 극대화하고자 한다.

이 최적화 문제의 해는 다음과 같이 도출된다.

마지막 식으로부터 AR² =SR_q²- SR_b²의 관계를 얻을 수 있다. 평가비율 제곱(AR²)은 새로운 투자기회를 통해 얻을 수 있는 효율성의 개선 가능성(SR_b²→SR_q²)을 측정한다.

수학적으로, 평가비율은 새로운 투자기회의 위험조정수익률, 즉 (R⁰_n,t- β_n,bR⁰_b,t)의 샤프비율과 동일하다. 이는 평가비율이 위험조정수익률 공간에서 각 투자안의 평균-분산 효율성을 측정한다는 것을 의미한다. 그러나 절대수익률 공간에서 평가비율은 샤프비율처럼 효율성 자체를 측정하는 것이 아니라, 그 효율성이 잠재적으로 개선될 수 있는 가능성을 측정한다는 것에 유의해야 한다.

4.3 자산가격결정 지표의 특별한 지위

앞선 절에서 수익률 측면의 지표(α, TR), 추적 오차 제약 측면의 지표(IR²), 잠재성 측면의 지표(AR²)가 효율성 측면의 지표(SR², {α_i²}, {TR_i²})와 어떻게 다른지 논의하였다. 이제, 동일한 효율성 지표 범주에 속하지만, 샤프비율과 자산가격결정 지표(│ρ│, R²_GLS, χ²_GRS, χ²_CS, D_SDF, ΔSR²) 사이에 존재하는 차이점을 살펴본다.

샤프비율 혹은 샤프비율 제곱은 분산 대비 평균의 형태로 정의되어 평균-분산 효율성을 직접적으로 표현한다. 반면, 자산가격결정 지표는 더 복잡한 맥락을 고려하여 평균-분산 효율성을 평가한다. 샤프비율이 펀드의 효율성을 서수적으로 나타내는 반면, 자산가격결정 지표는 이를 기수적으로 측정하며 통계적 맥락에 적합한 해석을 제공한다. 이러한 차이는 자산가격결정 지표가 샤프비율을 대체할 수 있으나 그 반대는 일반적으로 성립하지 않음을 의미한다.

자산가격결정 지표는 본래 자산가격결정 모형의 검정 통계량(test statistic)으로 사용되며, 통계적 검정의 기반이 되는 표본 크기와 분포를 고려하여 모형의 자유도와 함께 계산된다. 이러한 검정 통계량은 표본추출에서 발생하는 확률적 변동(sampling variation)뿐 아니라 그 외 다양한 통계적 맥락을 반영한다. 가령, 같은 카이제곱 값이라도 자유도에 따라 p -값과 같은 기수적 정보가 다르게 전달된다.

표본집단에서의 최소 분산 경계(ex-post frontier)는 일반적으로 모집단의 최소 분산 경계(ex-ante frontier)보다 넓다. 이로 인해 표본집단에서의 최대 샤프비율이 모집단의 최대 샤프비율보다 높게 산출되는데, 이렇게 상향 조정된 표본 샤프비율은 편향된 정보를 제공한다. 이에 반해 자산가격결정 지표는 통계적 맥락을 고려하기 때문에 표본집단에서의 평균-분산 효율성을 보다 정확하게 평가한다. 이러한 점에서 자산가격결정 지표는 특별한 지위를 갖게 되며, 보다 정교한 펀드 평가와 투자 의사결정을 이끌어 낼 수 있다.

자산가격결정 지표는 최적 포트폴리오와 가격결정 요인 간 평균-분산 효율성 차이를 나타내는 검정 통계량이다. 자산가격결정 지표는 최적 포트폴리오를 통계적 검정의 기준점으로 설정하여, 시장에서 거래되는 자산(검정 대상인 가격결정 요인, 펀드, 펀드 포트폴리오, 벤치마크 등)과 비교한다. 그러나 이때 기준점인 최적 포트폴리오 자체는 현실의 공매도 제약 등으로 인해 실제 구성되기는 어렵다.

최적 포트폴리오의 구성 불가능성은 자산가격결정 지표가 제공하는 경제적 해석과 자산가격결정 모형 검정의 타당성에 영향을 주지 않는다. 기준점은 본래 생각의 준거일 뿐이며, 실현되지 않는 것이 일반적이다. 예를 들어, GRS 통계량은 2,000개 주식의 초과수익률이 모두 0인 경우를 귀무가설로 설정한다. 이 귀무가설이 실현될 가능성은 우리가 존재하는 이 지구에 새로운, 그리고 거대한 빅뱅이 다시 발생할 가능성만큼이나 극히 낮다. 그럼에도 불구하고, GRS 검정은 통계적으로 타당하다.

기준점이 갖는 의의를 정확히 이해하기 위해서는 반사실적 사고(counterfactual thinking)에 익숙해질 필요가 있다. 정부 정책을 평가할 때 종종 반사실적 사고가 사용된다. 일단 정책이 시행되면, 이미 정책이 적용되었다는 사실을 변경할 수 없다. 따라서, 정책 효과의 인과성을 분석하기 위해서는 정책이 적용되지 않았다는 가상의 상황(반사실)을 상정하고, 이를 분석의 기준점으로 삼아야 한다.

자산가격결정 모형을 검정할 때에도 이러한 반사실적 사고가 필수적이다. 최적 포트폴리오를 구성하는 것은 실제로는 반사실에 불과하지만, 이는 연구자에게 가장 간단하면서도 최적의 기준점을 제공한다. 자산가격결정 지표는, 정책의 경제적 효과를 측정하는 방식처럼, 반사실과 비교하여 평균-분산 효율성을 측정한다. 그러므로 최적 포트폴리오의 구성 가능성에 관계없이 자산가격결정 지표가 제공하는 경제적 해석은 변하지 않는다.²⁰⁾

자산가격결정 지표는 펀드의 평균-분산 효율성을 기수적으로 측정하는 것을 넘어, 각 지표가 독특한 통계적 맥락에서 경제적 및 기하학적 의미를 전달한다. 따라서, 본 연구에서 사용된 모든 자산가격결정 지표를 채택하고, 그 산출값을 완전히 보고하는 것이 중요하다. 이는 학술적 투명성과 윤리적인 연구 문화를 조성하는 데 기여하며, 실무적으로도 더 나은 펀드 평가와 투자 성과의 산출에 도움을 준다.