Integrating Factor Models Using Bayesian Model Averaging: Evidence from Korea

유정 반; 지원 장

doi:10.26845/KJFS.2024.10.53.5.555

Korean J Financ Stud > Volume 53(5); 2024 > Article

베이지안 모형 평균을 적용한 통합 요인 모형의 한국 주식시장 성과

Article

Korean Journal of Financial Studies 2024; 53(5): 555-591.

Published online: October 31, 2024

DOI: https://doi.org/10.26845/KJFS.2024.10.53.5.555

베이지안 모형 평균을 적용한 통합 요인 모형의 한국 주식시장 성과

반유정, 장지원^*

(삼일회계법인)

(아주대학교)

Integrating Factor Models Using Bayesian Model Averaging: Evidence from Korea

Youjeong Ban, Jeewon Jang^*

Samil PwC

Ajou University

^* 연락담당 저자. 주소: 경기도 수원시 영통구 월드컵로 206 아주대학교 경영대학 금융공학과, 16499; E-mail: jeewonjang@ajou.ac.kr;
Tel: 031-219-2716.

^* Corresponding Author, Address: School of Business, Ajou University, 206 Worldcup-Ro, Yeongtong-Gu, Suwon 16499, Republic of Korea; E-mail: jeewonjang@ajou.ac.kr;
Tel: +82-31-219-2716.

Received July 18, 2024 Revised August 23, 2024 Accepted August 23, 2024

This Journal follow the http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/kr/ Creative Commons Attribution Non-Commercial No Derivatives License

Abstract

This study applies the Bayesian model averaging approach to the Korean stock market data to yield an integrated factor model that can address model uncertainty. During the period from 2004 to 2022, we choose 14 factors and 10 macro predictors and generate a total of 10,485,760 candidate factor models by considering all possible combinations of each variable and whether to allow for model mispricing. The integrated model estimates the expected return and covariance matrix by combining the predictions of all the candidate models using Bayesian posterior probabilities as weights. In the Korean stock market, there is no clear winner model with dominant posterior probabilities, implying that model uncertainty is substantial. The optimal portfolio of the integrated model has a higher out-of-sample Sharpe ratio and lower downside risk than benchmark factor models. Model uncertainty has a significant impact on the estimation of the covariance matrix of the integrated model, and model disagreement about expected returns is particularly acute during periods of sharp market declines. In the presence of model uncertainty, Bayesian investors perceive equities to be riskier than historical volatility.

Key words: Bayesian model averaging; Model uncertainty; Factor model; Asset pricing; Expected return

JEL Classification: G11, G12

요약

본 연구는 모형 불확실성을 고려할 수 있는 베이지안 모형 평균 방법을 한국 주식시장 자료에 적용하여 통합 요인 모형을 도출한다. 구체적으로 2004년부터 2022년까지의 한국 주식시장 자료를 바탕으로 14개의 가격결정 요인과 10개의 거시 예측변수를 선택하고, 각 변수의 포함 여부 및 모형의 평가오류 허용 여부에 따른 모든 가능한 조합을 고려하여 총 10,485,760개의 후보 요인 모형을 생성한다. 통합 요인 모형은 방대한 수의 후보 모형들에 대해 추정된 베이지안 사후확률을 가중치로 하여 모든 후보 모형의 정보를 결합하는 방식으로 기대수익률 및 공분산 행렬을 추정한다. 한국 주식시장에서는 사후확률이 두드러지는 명확한 승자 모형이 없다는 점에서 진정한 요인 모형에 대한 불확실성이 매우 큰 것으로 판단된다. 통합 요인 모형의 최적 포트폴리오는 상대적으로 높은 표본 외 샤프비율 및 낮은 하방위험을 가진다. 또한 모형의 불확실성은 통합 모형의 공분산 행렬 추정 결과에 상당한 영향을 미치며, 기대수익률의 예측에 대한 모형간 불일치는 특히 시장이 급락하는 시기에 심화된다. 모형 불확실성이 높을 때 이를 고려한 투자자들이 인식하는 주식의 위험은 역사적 변동성에 비해 훨씬 클 것으로 보인다.

주제어: 베이지안 모형 평균; 모형 불확실성; 요인 모형; 자산 가격결정; 기대수익률

JEL Classification: G11, G12

1. 서론

지난 10여년간 자산 가격결정 실증 연구 분야에서 가장 크게 주목을 받아온 현상 중 하나는 단연 주식 수익률의 횡단면을 설명할 수 있다고 알려진 수백 가지 요인의 발견, 즉 “요인 동물원(factor zoo)”일 것이다 (Cochrane, 2011). 이로부터 수백 개의 요인들 가운데 다른 요인들과는 독립된 정보를 가지는 진정한 요인과 불필요한 요인이 무엇이며, 진정한 요인들로 이루어진 가격결정 모형은 무엇인지 밝히고자 하는 노력들이 이어지고 있다. 그러한 연구들 중 일부는 데이터 마이닝을 통해 발견되어 연구의 표본 내에서만 설명력을 가지는 요인이 있는지 표본 외 검증을 통해 확인하거나, 다수 요인의 존재 및 p-해킹의 가능성을 고려하여 상향된 가설검정의 기준을 제시함으로써 불필요한 요인을 제외하고 진정한 요인을 가려내고자 한다.1) 또 다른 연구들은 고차원의 요인 수익률 자료를 바탕으로 방대한 계산이 요구되는 새로운 통계적 기법 또는 기계학습을 적용, 요인 모형의 차원을 축소하고 관찰된 수익률을 가장 잘 설명하는 모형을 선택하고자 한다.2) 이와 같은 자산 가격결정 연구의 최근 동향은 아직까지도 진정한 가격결정 요인이 무엇인지에 대해 불확실성이 존재한다는 점을 잘 보여준다.

보다 일반적으로, 자산 가격결정 모형의 불확실성은 진정한 요인이 무엇인가에 대한 불확실성에만 국한되지 않고 보다 포괄적인 의미를 나타낼 수 있다. 가격결정 모형이 위험 및 위험 프리미엄의 시가변성을 설명하기 위해서는 투자기회 집합의 변화를 예측할 수 있는 적절한 거시경제 변수를 포함해야 하는데, 이때 어떤 거시 예측변수가 필요한지에 대한 불확실성이 발생한다. 또한 주어진 요인 모형이 시장에서 관찰되는 자산 수익률을 충분히 설명하지 못하여 평가오류가 발생할 가능성도 고려할 수 있다. 이를 모두 종합하면, 가격결정 모형의 불확실성은 (i) 요인 선택 여부의 불확실성, (ii) 거시 예측변수 선택 여부의 불확실성, (iii) 모형의 평가오류 허용 여부의 불확실성을 모두 포함한다. 이러한 모형의 불확실성이 존재하다는 것이 분명할 때, 이를 고려한 투자자들이 인식하는 주식 투자의 위험은 단순히 역사적 변동성 등으로 측정되는 위험보다 훨씬 높을 수 있을 것이다.

이러한 가능성을 고려하기 위해서, Avramov, Cheng, Metzker, and Voigt (2023, 이후 ACMV)은 자산의 기대수익률과 공분산 행렬을 추정하는 과정에서 가격결정 모형의 불확실성을 명시적으로 반영할 수 있는 베이지안 모형 평균 (Bayesian model averaging, BMA) 방법을 제안한다. ACMV의 BMA 방법은 기존에 잘 알려진 다수의 요인 포트폴리오 수익률과 거시 예측변수들이 주어져 있을 때, 먼저 개별 요인 및 거시 변수의 모형 포함 여부 및 모형의 평가오류 허용 여부에 따라 방대한 수의 서로 다른 후보 요인 모형들을 생성하고, 다음으로 각 후보 모형들이 관찰된 수익률의 횡단면 및 시계열을 얼마나 잘 설명하는지를 나타내는 각 모형별 베이지안 사후확률을 측정한 후, 마지막으로 후보 모형들의 공간에서 각 모형의 사후확률을 가중치로 하여 후보 모형들의 정보를 결합한 통합 모형을 도출하는 것이다. 이렇게 도출된 BMA 통합 모형은 어떤 요인 모형이 진정한 모형인지 알 수 없는 불확실성을 명시적으로 고려하여 조금이라도 가능성이 있는 모든 후보 모형의 정보를 적절한 비중으로 반영한다는 점에서, 가장 그럴듯한 하나의 요인 모형을 선택하도록 하는 모형 선택 방법들과 차별화된다. 또한 BMA 통합 모형의 공분산 행렬은 모형의 형태 및 모수의 값이 주어져 있다고 가정할 경우의 일반적인 수익률 공분산 행렬의 정보 외에도, 주어진 모형의 모수에 대한 불확실성 및 기대수익률의 예측에 대한 후보 모형들 간의 불일치에 대한 정보를 모두 반영하게 된다. 따라서 BMA 통합 모형에서 추정된 공분산 행렬을 통해 모형의 불확실성을 고려한 것이 모형의 성과에 얼마나 중요한 영향을 미치는지 판단해 볼 수 있다.

본 연구는 ACMV의 베이지안 모형 평균 방법을 한국 주식시장에 적용하여 한국 시장의 BMA 통합 모형을 도출하고, 도출된 통합 모형의 결과를 분석하여 한국 시장의 수익률을 잘 설명하기 위해서 모형의 불확실성을 고려하는 것이 얼마나 중요한지 평가해본다. 이러한 연구 목적에 비추어 볼 때, 본 연구는 독창적인 연구 방법론을 제안하지 않고 선행 연구의 방법론을 그대로 따른다는 분명한 한계점을 지닌다. 그럼에도 불구하고 BMA 방법을 한국 주식시장에 적용해보는 것은 다음과 같은 이유로 충분히 의미를 가질 수 있다. 첫째, 앞서 설명한 바와 같이 최근 자산 가격결정 연구의 주된 흐름 중 하나는 요인 동물원 현상과 관련하여 고차원의 자료를 대상으로 기계학습 및 베이지안 모형 등 새로운 통계적 방법론을 적용함으로써 진정한 요인 모형을 찾고자 하는 것이다. 한편 한국 주식시장을 대상으로 하는 국내의 실증연구들은 대부분 미국 시장 자료를 바탕으로 발견된 특정 요인 또는 소수의 요인들로 구성된 특정 모형이 한국 시장에서도 유의한 성과를 가지는지 검증하는 것에 주안점을 둔다.3) 이러한 연구들은 특정 요인(들)이 가격결정에 관여하는 경제적 원리에 집중할 수 있다는 장점을 가지나, 서로 다른 경제적 원리를 바탕으로 독립적으로 발견된 다수의 요인들을 결합함으로써 요인 모형의 성과가 크게 개선될 가능성을 충분히 고려하기 어렵다. 본 연구는 한국 시장을 대상으로는 최초로 개별적으로 알려져 있는 다수의 요인들을 동시에 고려하여 고차원 자료를 다루기에 적합한 새로운 연구 방법론을 적용함으로써 요인 모형의 성과가 개선될 수 있음을 보인다. 둘째, 한국 주식시장에서 요인 모형의 불확실성은 미국 시장에 비해서 훨씬 클 수 있고, 따라서 모형의 불확실성을 고려하는 BMA 통합 모형의 강점은 한국 시장에서 더욱 강조될 수 있다. 선행 연구를 통해 잘 알려져 있는 요인들은 대부분 미국 시장 자료를 바탕으로 처음 발견되었다는 점에서 미국 시장의 수익률 자료를 설명하기에 최적화된 결과일 가능성이 있다. 실제로 그러한 요인들의 유의성이나 자산 수익률에 대한 설명력을 한국 시장에서 검증했을 때의 결과는 선행 연구에서만큼 뛰어나지는 않은 경우가 많다. 이런 점에서 한국 주식시장의 수익률을 설명하기에 가장 적합한 요인 모형이 무엇인지는 미국 시장에 비해서 훨씬 덜 알려져 있으며, BMA 방법은 이러한 높은 모형 불확실성을 반영하여 도출된 통합 요인 모형을 통해 기존에 알려진 개별 모형들의 한국 시장에서의 성과를 크게 개선시킬 수 있다.

구체적으로, 본 연구는 2004년부터 2022년까지의 한국 주식시장 자료를 대상으로 BMA 방법을 적용한다. 이를 위해 문헌을 통해 잘 알려져 있는 대표적인 가격결정 요인 14개와 기대수익률을 예측할 수 있다고 알려진 거시경제 변수 10개를 선택한다. 선택한 개별 요인 및 거시 변수들의 포함 여부 및 평가오류의 허용 여부에 따라 만들 수 있는 모든 조합을 바탕으로 총 10,485,760개의 후보 요인 모형들을 구성한다. 총 14개 요인 포트폴리오에 대한 투자를 통해 달성 가능한 최대 샤프비율이 시장 포트폴리오 대비 1.5배라는 사전적 믿음을 반영하여 모든 후보 모형들의 베이지안 사후확률을 산출한 결과, 사후확률 기준 상위 10,000개 모형의 누적 사후확률이 33%에 불과하다.4) 이는 우리가 고려한 방대한 수의 후보 모형들 가운데 특별히 높은 사후확률을 가지는 뚜렷한 승자 모형이 없다는 의미로, 한국 주식시장에서 특히 모형의 불확실성이 매우 크다는 것을 확인할 수 있다. 한편 개별 요인마다 각 요인을 포함하는 후보 모형들의 사후확률 합계를 계산한 결과, 중개기관 자본비율 요인(ICR, He et al. (2017))의 사후 포함확률이 거의 100%이며, 다음으로 영업현금흐름 변화율 요인(OCF, Bouchaud et al. (2019)), 잔차모멘텀요인(RESFF3, Blitz et al. (2011)), 가치요인(HML, Fama and French (1993, 2015)), 경영 관련 가격오류 요인(MGMT, Stambaugh and Yuan (2017)) 순으로 92% 이상의 높은 사후 포함확률을 가진다. 이는 비교적 최근에 발견된 새로운 요인들이 기존의 잘 알려진 요인 수익률에 대한 추가적인 설명력을 가진다는 점을 보여준다.

다음으로 BMA 통합 모형의 표본 외 성과를 평가하기 위해 표본 내 기간에서 통합 모형으로부터 추정된 기대수익률 및 공분산 행렬을 이용하여 접점 포트폴리오를 구성하고 표본 외 기간의 샤프비율 및 하방위험을 살펴본다. 전체 기간의 2/3 기간을 표본 내 기간으로 설정할 때 통합 모형 접점 포트폴리오의 표본 외 샤프비율은 무려 1.19로, 이는 Fama and French (2015) 5요인 모형의 3.1배이며 Frazzini, Kabiller, and Pedersen (2018)의 AQR 6요인 모형의 결과보다 2.6배나 높은 값이다. 또한 통합 모형의 접점 포트폴리오는 표본 외 기간에 상대적으로 높은 왜도, 낮은 첨도 및 낮은 최대 낙폭을 가지며, 전체 기간 중 시장 포트폴리오 수익률이 크게 낮아지는 시기에도 큰 하락 없이 비교적 안정적인 수익률을 보인다. 통합 모형의 접점 포트폴리오가 개별 요인에 투자하는 가중치와 해당 요인의 실현된 수익률 간에는 평균적으로 양의 표본 외 상관계수가 관찰되며, 이를 통해 접점 포트폴리오가 좋은(나쁜) 성과를 보이는 요인에 대한 가중치를 상대적으로 높게(낮게) 선택하는 경향을 통해 높은 표본 외 사프비율과 낮은 하방위험을 가지는 것을 알 수 있다.

마지막으로 BMA 통합 모형에서 모형의 불확실성을 고려하는 것이 얼마나 중요한 역할을 하는지 확인하기 위한 몇 가지 분석을 수행한다. 첫째, 각 요인 수익률의 표본 분산과 BMA 통합 모형에서 추정된 조건부 분산의 표본 평균을 비교한 결과, 대부분의 요인에 대해 통합 모형 조건부 분산의 평균이 표본 분산보다 크다. 만약 모형 불확실성이 없다면 표본 분산이 조건부 분산의 평균보다 커야하므로, 이와 상반된 결과가 관찰된 것은 통합 모형에서 추정된 공분산 행렬이 추정 위험 및 기대수익률에 대한 모형간 불일치를 반영함으로써 개별 요인 수익률의 분산 추정 결과에 크게 영향을 미치는 것을 의미한다. 따라서 주식 투자자들이 인식하는 진정한 위험은 모형의 불확실성 때문에 역사적 수익률의 표본 분산을 통해 파악되는 것보다 훨씬 높을 수 있음을 알 수 있다. 둘째, 정보 이론에서 활용되는 개념인 엔트로피의 증가를 통해 BMA 통합 모형에서 기대수익률에 대한 모형간 불일치가 공분산 행렬 추정 결과에 얼마나 기여하는지 측정할 때, 엔트로피 증가의 시계열이 전체 기간에서 평균적으로는 두드러지지 않지만 2008- 2009년 글로벌 금융위기, 2020년 코로나19 팬데믹 초기 등 시장이 급락했던 시기에 급격히 치솟는다. 이 외에도 기대수익률이 평가오류, 요인부하량 및 위험 프리미엄 등의 요소로 구성된다는 점을 바탕으로 각 요소에 대한 모형간 불일치를 해당 모수 추정치의 모형간 표준편차로 측정하고, 마찬가지로 개별 후보 모형들의 접점 포트폴리오 가중치의 모형간 표준편차를 통해 포트폴리오 선택에 대한 모형간 불일치를 측정한다. 이들 분석을 통해 공통적으로, 평가오류, 요인부하량 및 위험 프리미엄의 예측, 그리고 포트폴리오 선택 및 성과에 대한 모형간 차이는 시장 급락기에 크게 확대되는 것을 알 수 있다. 모든 결과는 종합적으로, 자산 가격이 급락하는 시기에 모형간 불일치가 더욱 심화되므로 모형 불확실성을 고려하는 것이 더욱 중요해진다는 것을 시사한다.

이후 논문의 구성은 다음과 같다. 제 2장에서는 ACMV의 베이지안 모형 평균을 적용한 통합 모형의 의미와 베이지안 사후확률의 도출 과정을 설명한다. 제 3장은 본 연구에서 사용한 자료 및 변수를 설명한다. 제 4장은 BMA 통합 모형의 추정 결과를 설명한다. 제 5장은 통합 모형로부터의 최적 포트폴리오 및 최소분산 포트폴리오의 표본 외 성과를 평가한다. 제 6장은 모형 불확실성을 고려하는 것이 BMA 통합 모형의 추정 결과에 어떤 영향을 미치는지를 분석하고, 모형 불확실성의 중요성을 고찰한다. 제 7장은 결과를 요약한다.

2. 베이지안 모형 평균을 적용한 자산 가격결정 모형

이 장에서는 ACMV의 베이지안 모형 평균을 적용한 가격결정 모형과 사후확률의 도출 과정을 인용, 요약하여 수록한다. 이 장의 내용은 본 연구만의 독창적인 내용은 아니며 ACMV를 직접 참고하여도 무방하나, 본 연구의 실증분석 결과를 이해하기 위해 필수적인 내용이므로 독자의 편의를 위해 국문으로 다시 요약하여 정리한 것이다. 그러나 해당 방법론에 이미 익숙한 독자들은 이 장을 건너뛸 수 있다.

2.1 자산 가격결정 모형

이 절에서는 모형의 불확실성을 고려한 자산 가격결정 모형의 일반적 형태와 베이지안 모형 평균에 의해 도출되는 자산의 기대수익률 및 수익률의 공분산 행렬을 설명한다. 먼저 N개의 검증 자산에 대한 초과 수익률의 벡터를 r_t라 하고, 수익률 스프레드를 나타내는 K개의 요인 벡터를 f_t, 미래의 수익률 분포와 관련된 M개의 거시경제 변수를 나타내는 벡터를 z_t로 정의한다. 모든 시계열의 길이는 T라고 한다. 이를 바탕으로 자산의 초과 수익률은 다음의 자산 가격결정 모형으로 표현될 수 있다.

(1)

rt+1=α(zt)+β(zt)ft+1+ur,t+1, ur,t+1~N(0,∑RR)

여기서 자산 가격결정 요인은 시가변적인 위험 프리미엄을 허용하기 위해 다음의 시계열 회귀모형으로 표현된다.

(2)

ft+1=αf+αFzt+uf,t+1, uf,t+1~N(0,∑FF)

자산의 초과 수익률과 요인의 오차항 u_r,t+1와 u_f,t+1간에는 서로 상관관계가 없다고 가정한다. 한편, α(z_t)와 β(z_t)는 각각 평가오류(mispricing) 및 요인부하량(factor loading)을 나타내는 것으로 α(z_t)=α₀ +α₁z_t와β(zt )=β₀ +β₁ (I_K ⊗ z_t)의 형태로 주어지며, 이 때 I_K는 K차원의 항등행렬이다. 즉, α₀와 α₁은 각각 모형의 고정적인 평가오류 및 시가변적인 평가오류를 나타내는 N차원 벡터와 N × M차원 행렬이다. 또한 β₀는 N × K차원 행렬, β₁은 N × (KM)차원 행렬로 각각 고정적인 요인부하량과 시가변적인 요인부하량을 나타낸다. 이를 반영하여 식 (1)의 자산 가격결정 모형을 다시 나타내면 다음과 같다.

(3)

rt+1=α0+α1zt+β0ft+1+β1(Ik⊗zt)ft+1, ur,t+1

식 (3)의 가격결정 모형은 자산 수익률에 대한 세 가지 유형의 불확실성을 고려한다. 첫 번째 유형은 주어진 요인 모형이 주식 수익률의 횡단면을 잘 설명하지 못하는 평가오류에 대한 불확실성이다. 두 번째 유형은 진정한 가격결정 요인이 무엇인지에 대한 불확실성이다. 세 번째 유형은 투자기회 집합의 변화를 예측하는 거시경제 변수가 무엇인지에 대한 불확실성이다. 베이지안 모형 평균은 진정한 요인 모형과 해당 모형의 모수에 대한 불확실성이 존재할 때 자산 수익률의 시계열 및 횡단면 효과를 설명하기 위해서 적용할 수 있는 연구 방법이다. 구체적으로는, 우선 가격결정 요인 및 투자기회의 변화를 예측할 수 있는 거시경제 변수 후보들의 집합을 구성한 뒤, 각 요인들과 거시경제 변수들로 생성할 수 있는 모든 가능한 조합을 고려한 후보 모형들에 대한 사후확률을 계산한다. 이 때 각 모형들은 위에 설명한 세 가지 유형의 불확실성에 있어 차이를 가지며, 우리가 고려한 모든 후보 모형들은 그 사후확률에 따라 최종 통합 모형에 반영된다. <표 1>은 본 연구에서 고려하는 가격결정 모형의 유형을 주요 모수에 대한 가정에 따라 구분한 결과를 요약하여 나타낸다.

<표 1>

자산 가격결정 모형의 유형

이 표는 본 연구에서 고려한 자산 가격결정 모형의 유형을 주요 모수에 대한 가정에 따라 구분하여 나타낸다. M1과 M2 유형은 요인부하량 및 위험 프리미엄이 시간에 따라 변하지 않는 비조건부 모형으로, M1 유형은 평가오류가 없다고 가정하는 비조건부 모형을, M2 유형은 고정적인 평가오류를 허용하는 비조건부 모형을 나타낸다. M3와 M4 유형은 요인부하량 및 위험 프리미엄이 시가변적인 조건부 모형으로, M3 유형은 평가오류가 없다고 가정하는 조건부 모형을, M4 유형은 고정적이거나 시가변적인 평가오류를 허용하는 조건부 모형을 나타낸다.

모형	α(z_t)	β(z_t)	α_F	초과 수익률	요인
M1	α=0	β₁=0	α_F=0	r_t+1= β₀f_t+1+u_r,t+1	f_t+1= α_f+u_f,t+1
M2	α≠0	β₁=0	α_F=0	r_t+1= α₀+ β₀f_t+1+u_r,t+1	f_t+1= α_f+u_f,t+1
M3	α=0	β₁≠0	α_F≠0	r_t+1= β₀f_t+1+ β₁(I_K ⊗z_t)f_t+1+u_r,t+1	f_t+1= α_f+ α_Fz_t+u_f,t+1
M4	α≠0	β₁≠0	α_F≠0	r_t+1= α₀+ α₁z_t+ β₀f_t+1+ β₁(I_K ⊗z_t)f_t+1+u_r,t+1	f_t+1= α_f+ α_Fz_t+u_f,t+1

모형의 불확실성을 고려할 때, 베이지안 모형 평균에 의한 자산의 기대수익률은 다음의 식 (4)와 같이 도출된다.

(4)

E[rt+1|D]=∑l=1LP(Ml|D)E[rt+1|Ml,D]

여기서 D는 관찰된 데이터로, N개의 검증 자산과 K개의 요인에 대한 패널 자료 및 M개의 거시경제 변수에 대한 시계열 자료를 포함한다. M_l은 각 후보 모형을 나타내는 것으로, l은 각 모형을 구분하는 식별기호이며 L은 고려한 후보 모형의 총 개수이다. P(M_l │ D)는 주어진 데이터 D로부터 계산된 각 후보 모형의 사후확률을 의미한다. E[r_t+1│M_l , D]는 주어진 데이터로부터 추정된 각 모형별 자산의 기대수익률로, 베이지안 모형 평균으로 구성된 최종 모형은 후보 모형의 사후확률이 높을수록 해당 모형이 예측하는 기대수익률에 더 높은 비중을 부여하는 방식으로 L개의 후보 모형의 정보를 통합하여 기대수익률을 예측한다.

한편 자산 수익률의 공분산 행렬은 다음의 식 (5)와 같이 나타낼 수 있다.

(5)

Var[rt+1|D]=Vt+Ωt

첫째 항인 V_t는 Vt=∑l=1LP(Ml|D) Var[rt+1|MlD]로, 각 모형별 모수의 불확실성을 고려한 공분산 행렬의 기대값을 나타내는 것이다. V_t는 또다시 두 개의 항목으로 분해할 수 있는데, 한 가지는 모수가 알려져 있다는 가정 하에서 각 모형의 수익률 공분산 행렬의 기대값이고 다른 한 가지는 각 모형별 모수의 불확실성, 즉 추정 위험으로 인해 발생하는 분산이다. 식 (5)의 두 번째 항인 Ω_t은 자산의 기대수익률에 대한 후보 모형간 불일치로 인한 변동을 반영하며, 구체적으로는 다음 식과 같이 주어진다.

(6)

요약하면, 베이지안 모형 평균을 적용한 통합 모형의 공분산 행렬은 (i) 모수의 불확실성이 없다고 가정할 때 모형별 수익률 공분산 행렬의 기대값, (ii) 모형별 모수에 대한 추정 위험의 기대값, 그리고 (iii) 기대수익률에 대한 모형간 불일치의 정도를 나타내는 세 가지 구성요소로 이루어진다.

2.2 사후확률의 도출

이 절에서는 위험자산 수익률의 움직임을 설명할 수 있는 요인 모형의 사후확률을 도출하는 과정을 설명한다. 일반적으로 각 후보 모형에 대한 모수 공간을 θ라고 할 때, 주어진 모형의 모수에 대한 사전확률밀도를π(θ│M_l), 관찰된 자료를 바탕으로 하는 우도함수를L(D│ θ, M_l), 그리고 사전확률과 우도함수로부터 도출되는 사후확률밀도함수를 π(θ│M_l)로 나타내자. 즉, 사후확률분포는 불확실한 모수에 대한 사전적 확률분포, 관찰된 자료 D, 그리고 특정한 요인 모형 M_l이 주어져 있을 때의 모수의 확률분포를 나타낸다.

주어진 모형의 사후확률을 계산하는 과정에서 무엇보다 중요한 것은 다음 식 (7)과 같이 주변 우도함수를 구하는 것이다.

(7)

m(D|M)=∫θL(D|θ,M)π(θ|M)dθ=L(D|θ,M)π(θ|M)π(θ|D,M)

주변 우도함수 m(D│M)이 주어지면, 이로부터 다음의 식 (8)과 같이 모형 M에 대한 사후확률을 산출할 수 있다.

(8)

P(M|D)=m(D|M)P(M)∑l=1Lm(D|Ml)P(Ml)

이 때 P(M_l)은 모형 M_l에 대한 사전확률로, 사전적으로 특정 모형을 더 선호할만한 이유가 없으므로 모든 모형에 대해 동일한 확률을 부여한다.

이제 각 요인 모형마다 주변 우도함수를 계산하기 위해서, 크기가 T₀인 가상의 표본을 바탕으로 사전확률분포를 설정한다. 해당 가상 표본에서 주식 수익률, 요인, 거시경제 변수들의 평균과 공분산 행렬은 모두 실제 관측치를 바탕으로 하는 표본 평균 및 표본 공분산으로 설정하며, 요인 모형의 평가오류 및 거시 변수에 의한 예측 가능성은 없는 것으로 가정한다. 이렇게 설정된 사전확률분포를 바탕으로 도출된 주변 우도함수는 가상 표본의 크기인 T₀에 의존하는데, 그 구체적 형태는 상당히 복잡할 뿐 아니라 가격결정 모형의 유형에 따라 달라지므로 여기에서는 수록하지 않으며 ACMV의 Internet Appendix를 참고할 수 있다.

한편, 우리가 고려하는 모든 후보 모형은 시장요인을 포함하며, 각 후보 모형에 대한 검증 자산은 해당 모형에 포함되지 않은 요인 포트폴리오를 포함하도록 조정된다고 가정한다. 구체적으로, 우리가 고려할 모든 요인이 총 K개이고 그 중 모형 M_l이 k (k < K)개의 요인을 포함한다면, 포함되지 않은 나머지 K − k개의 요인은 기존 N개의 검증 자산 외에 추가로 검증 자산에 포함되어 모형 M_l에 대한 최종 검증 자산의 개수는 N + K − k가 된다.

이제 마지막으로, 주변 우도함수의 계산을 위해 필요한 가상 표본의 크기 T₀를 설정하는 기준을 설명한다. 요인 모형의 평가오류를 나타내는 모수 α₀와 α₁의 결합 사전확률분포로부터, 요인 모형의 평가오류의 분산을 나타내는 다음의 식을 도출할 수 있다.

(9)

Var(α|∑RR,D)=Var(α0+α1′z|∑RR,D)=∑RR,T0(1|SRmax2+m(1+SRmax2))

식 (9)에서SR²_max는 요인 포트폴리오에 대한 투자를 통해 달성 가능한 최대 샤프비율을 나타내며, m은 모형에 포함된 거시경제 예측변수의 개수로 0과 M 사이의 값이다.

다음으로 Barillas and Shanken (2018)을 따라, 모형의 평가오류를 나타내는 α의 사전분포를 α|∑RR,D~N(0,η∑RR)과 같이 가정하는데, 여기서 η>0는 평가오류의 크기를 통제하기 위한 모수를 의미한다. 따라서 α′(η∑RR)−1α는 자유도가 N + K − k인 카이제곱 분포를 가지게 되며, 따라서 E(α′∑RR−1α|∑RR,D)=η(N+K−k)이 성립할 것이다. 한편 Gibbons, Ross, and Shanken (1989)에 따르면 다음의 식이 성립한다.

(10)

α^′Σ^RR−1α^=SR^2(R,F)−SR^2(F)

여기서 SR^2(F)는 후보 모형의 요인 포트폴리오만을 기준으로 계산된 벤치마크 샤프비율을, SR^2(R, F)는 요인 포트폴리오와 검증 자산을 모두 고려한 최대 샤프비율을 나타낸다. 이 때 앞서 설명한 바와 같이 각 후보 모형에 포함되지 않은 요인 포트폴리오는 모두 검증 자산에 포함하기로 하였으므로 고려하는 모든 후보 모형에 대하여 SR^2(R, F)는 동일할 것이고, SR^2(F)는 후보 모형에 따라 달라지는데 시장요인만을 포함하는 CAPM이 최소값을 가질 것이다. 이제 요인 모형이 허용할 수 있는 최대 샤프비율이 시장 포트폴리오 샤프비율의 몇 배인지 나타내는 배수를 τ라고 하면, SR(R, F)=τSR(Mkt)와 같이 표현할 수 있다. 따라서 다음 식을 얻을 수 있다.

(11)

E(α′∑RR−1α|∑RR,D)=η(N+K−k)=(τ2−1)SR2(Mkt)

식 (11)로부터 모수 η는 다음과 같이 표현된다.

(12)

η=(τ2−1)SR2(Mkt)N+K−k

최종적으로, 가상 표본에서 α의 분산을 나타내는 식 (9)와 α의 사전분포의 분산 ηΣ_RR이 같아야 한다는 조건에 식 (12)를 대입하게 되면, 다음의 식이 도출된다.

(13)

T0=(N+K−k)(1+SRmax2+m(1+SRmax2))(τ2−1)SR2(Mkt)

즉, 식 (13)과 같이 T₀를 설정함으로써 해당 가상 표본으로부터 사전확률분포를 도출할 수 있고, 다시 이를 실제 표본과 결합하여 사후확률분포를 도출할 수 있게 된다. 가상 표본의 크기 T₀가 증가할수록 모수에 대한 사전적 믿음이 사후확률에 더욱 강하게 반영된다. 식 (13)에 의하면 거시경제 예측변수의 개수 m이 증가할수록 T₀가 증가하는데, 일반적으로 더 많은 수의 예측변수를 포함시킬수록 모형의 설명력이 개선될 수 있으므로 진정한 예측력을 가지는 변수만을 가려내기 위해서 거시 변수에 의한 예측 가능성이 없다는 사전적 믿음을 더 강하게 반영하는 것으로 볼 수 있다. 또한 요인 포트폴리오를 통해 달성 가능한 최대 샤프비율의 제곱, 즉 SR²_max이 높아질수록 T₀가 증가하는데, 이는 SR²_max이 클수록 해당 모형의 평가오류가 없다는 사전적 믿음을 더 강하게 반영하는 것을 의미한다. 또한 τ가 클수록 T₀가 감소하는데, 이는 시장에 비해 더 큰 배수의 샤프비율을 가지는 차익거래의 기회를 허용하기 위해서는 해당 모형의 평가오류가 없다는 사전적 믿음의 비중을 줄여야 한다는 의미로 해석할 수 있다.

3. 자료 및 변수

본 연구에서는 2004년 1월부터 2022년 12월까지를 표본 기간으로 하여 한국 주식시장의 기대수익률을 잘 설명할 수 있는 자산 가격결정 모형을 베이지안 모형 평균 방법을 통해 구성하고자 한다. 이를 위해 문헌에서 잘 알려져 널리 활용되고 있는 대표적인 가격결정 요인 14개와 기대수익률의 시가변성을 예측하기 위한 거시 변수 10개를 선택한다. 먼저 가격결정 요인은 Fama and French (2015) 5요인 모형의 시장요인(MKT), 규모요인(SMB), 가치요인(HML), 수익성요인(RMW) 및 투자요인(CMA)을 포함하며, 여기에 Fama and French (2018)을 따라 모멘텀요인(MOM)을 추가한다. 또한 Asness, Frazzini, and Pedersen (2019)의 우량성요인(QMJ)과 Frazzini and Pedersen (2014)의 역베타요인(BAB), 그리고 Stambaugh and Yuan (2017)의 경영(MGMT) 및 성과(PERF) 관련 가격오류 요인 두 개를 추가로 선택한다. 이 외에도 한국 주식시장에서의 성과가 아직까지 잘 알려져 있지 않은 상대적으로 새로운 네 개의 요인, Bouchaud, Krüger, Landier, and Thesmar (2019)의 영업현금흐름 변화율 요인(OCF), Blitz, Huij, and Martens (2011)의 잔차모멘텀요인(RESFF3), Ball, Gerakos, Linnainmaa, and Nikolaev (2016)의 현금흐름 영업수익성 요인(COP), 그리고 He, Kelly, and Manela (2017)의 중개기관 자본비율 요인(ICR)을 추가로 분석에 포함한다.

선택한 14개의 요인 포트폴리오를 구성하기 위해 필요한 자료는 모두 에프앤가이드(FnGuide) 데이터베이스에서 추출하며, 구체적인 요인 포트폴리오의 정의 및 계산 방법은 모두 위에 언급한 선행연구의 방법을 그대로 따른다. 본 연구의 분석 대상인 요인 포트폴리오는 모두 거래 가능한 매수-매도 전략을 나타내며, 각 거래 가능한 요인에 대한 월별 수익률 자료를 이용한다.5)

다음으로 10개의 거시 예측변수 가운데 주식시장 관련 변수로는 로그배당주가비율(dp), 로그배당수익률(dy), 로그이익주가비율(ep), 수익률분산(svar), 그리고 로그장부-시장가치비율 (bm)을 선택한다.6) 주식시장 변수는 모두 코스피200 지수를 기준으로 계산하며, 구체적인 정의와 계산은 Welch and Goyal (2008)을 따른다. 다음으로 채권시장 및 이자율 관련 변수로 단기이자율(tbl), 장기채권수익률(lty), 기간스프레드(tms), 부도스프레드(dfy)를 포함한다. 이 때 구체적으로는, 단기이자율 지표로 CD 유통수익률을, 장기채권 수익률로는 국고채 10년물 수익률을 사용하고, 두 변수의 차이를 기간스프레드로 정의한다. 부도스프레드는 무보증 3년물 BBB− 등급 회사채 수익률과 AA− 등급 회사채 수익률의 차이로 정의한다. 마지막으로 물가상승률(infl)을 소비자물가지수 등락률로 정의하여 포함한다.

<표 2>는 본 연구에서 분석한 모든 변수들의 기술 통계량을 나타낸다. 패널 A에서 14개의 요인 포트폴리오 수익률을 살펴보면 BAB 요인을 제외하면 나머지 요인들은 월 0.04%(RMW)에서 0.57%(RESFF3)에 이르는 양의 평균 수익률을 보인다. 중개기관 자본비율 요인인 ICR은 월 7.41%로 가장 높은 변동성을 가지며, 다음으로 MKT와 MOM이 각각 5.43%, 5.31%의 높은 변동성을 가진다. 한편 CAPM 알파가 가장 높으며 통계적으로 유의한 요인은 MGMT이다. 요인 수익률 간의 상관계수는 MKT와 BAB 사이에서 −0.58로 가장 낮고 QMJ와 COP 사이에서 0.87로 가장 높다. 특히 BAB 요인의 경우 MKT와는 두드러지는 음의 상관관계를 보이는 반면, 수익성 관련 요인인 COP, RMW, QMJ, PERF와 높은 양의 상관관계를 보인다. 패널 B는 10개의 월별 거시 예측변수들의 기술 통계량을 나타낸다. 대부분의 변수들은 svar와 infl을 제외하면 AR(1) 계수가 0.9 이상으로 매우 강한 자기상관관계를 가진다.

<표 2>

기술 통계량

이 표는 본 연구에서 분석한 변수들의 기술 통계량을 나타낸다. 표본 기간은 2004년 1월부터 2022년 12월까지이다. 패널 A는 각 요인 포트폴리오의 월별 수익률의 평균, 중앙값, 표준편차, CAPM 알파 및 t-통계량, 요인들 간의 상관계수를 보고한다. 패널 B는 월별 거시 예측변수들의 평균, 중앙값, 표준편차, 그리고 AR(1) 계수를 보고한다.

A. 요인 포트폴리오 수익률
	MKT	SMB		HML		RMW	CMA		MOM		OCF	RESFF3		QMJ		BAB		MGMT	PERF		COP		ICR
평균	0.552	0.202		0.520		0.035	0.284		0.325		0.508	0.571		0.206		-0.305		0.540	0.228		0.355		0.435
중앙값	0.839	0.220		0.602		0.066	-0.090		0.436		0.291	0.423		0.199		-0.074		0.319	0.255		0.315		0.644
표준편차	5.431	4.015		4.847		3.705	3.352		5.312		3.404	3.479		3.934		4.993		3.175	3.945		3.945		7.411
CAPM 알파		0.149		0.509		0.131	0.335		0.319		0.474	0.535		0.356		-0.013		0.570	0.323		0.461		-0.156
t-통계량		0.560		1.571		0.547	1.510		0.898		2.094	2.313		1.457		-0.049		2.697	1.262		1.815		-0.506
상관계수:
MKT	1	0.131		0.022		-0.255	-0.148		0.012		0.097	0.102		-0.373		-0.575		-0.092	-0.237		-0.266		0.784
SMB		1		0.058		-0.517	-0.068		-0.067		-0.008	-0.074		-0.401		0.020		-0.288	-0.473		-0.463		0.077
HML				1		-0.172	0.365		-0.567		-0.086	-0.290		-0.287		0.169		0.255	-0.520		-0.242		0.313
RMW						1	-0.098		0.049		0.125	-0.038		0.778		0.076		0.252	0.649		0.755		-0.366
CMA							1		-0.140		-0.185	0.030		-0.099		0.282		0.330	-0.159		-0.105		0.008
MOM									1		-0.007	0.692		0.095		-0.130		0.023	0.567		0.144		-0.175
OCF											1	-0.020		0.161		-0.063		0.028	0.083		0.193		0.090
RESFF3												1		-0.036		-0.149		0.055	0.317		0.044		0.002
QMJ														1		0.306		0.186	0.777		0.865		-0.483
BAB																1		0.077	0.126		0.144		-0.484
MGMT																		1	0.216		0.304		-0.001
PERF																			1		0.744		-0.471
COP																					1		-0.394
ICR																							1

B. 거시 예측변수

	dp		dy		ep			svar		bm			tbl		lty		tms			dfy		infl

평균	-3.010		-4.143		-2.643			0.003		0.870			0.027		0.035		0.008			0.053		0.002
중앙값	-3.115		-4.160		-2.646			0.002		0.866			0.026		0.035		0.007			0.059		0.002
표준편차	0.427		0.239		0.275			0.006		0.152			0.013		0.014		0.007			0.012		0.003
AR(1)	0.990		0.951		0.921			0.525		0.950			0.990		0.983		0.941			0.995		0.300

4. 통합 요인 모형의 추정 결과

이 장에서는 구체적으로 다양한 후보 모형들의 사후확률을 분석하고, 이를 바탕으로 BMA 통합 모형을 구성한다. 우선 총 14개의 가격결정 요인과 10개의 거시 예측변수를 바탕으로 각 변수의 포함 여부에 따라 만들 수 있는 모든 가능한 조합으로부터 후보 모형들을 설정한다. 우선 <표 1>에서 모형 유형이 M1 또는 M2로 구분되는 비조건부 모형의 경우, 거시 예측변수를 하나도 포함하지 않으므로 14개 요인만으로 후보 모형을 생성한다. 이 때 우리가 고려할 모든 후보 모형은 MKT 요인을 항상 포함해야 한다는 조건을 적용하면, 총 14개 중 MKT를 제외한 나머지 13개 요인 각각의 포함 여부에 따라 8,192(=2¹³)개의 조합이 만들어진다. 따라서 평가오류를 고려하지 않는 비조건부 모형인 M1 유형과 평가오류를 허용하는 비조건부 모형인 M2 유형에 대해 각각 8,192개씩의 후보 모형이 생성된다.

이제 모형 유형이 M3 또는 M4로 구분되는 조건부 모형의 경우에는 요인부하량 및 위험 프리미엄의 시가변성을 예측하기 위한 거시 변수를 최소한 하나 이상 포함해야 한다. 따라서 이번에는 요인 뿐 아니라 총 10개의 거시 예측변수로부터 만들 수 있는 모든 조합의 수까지 고려해야 하는데, 여기서 주의할 사항은 거시 예측변수들 중 일부는 선형 종속관계를 가지기 때문에 중복되는 조합이 발생하게 되며 이러한 경우의 수는 제거해야 한다는 점이다. 구체적으로, 거시 변수 중에서 기간스프레드를 나타내는 tms는 장기 금리인 lty에서 단기금리인 tbl을 뺀 값이기 때문에, tms, lty, tbl 세 변수의 포함 여부에 따라 만들어지는 총 8(=2³)개의 조합 가운데 셋 중 두 개 이상이 포함되는 조합들은 모두 중복된다. 따라서 중복을 제거하기 위해 세 변수 중 두 개를 포함하는 조합을 1개만 선택하고, 셋 중 한 변수를 포함하는 조합 각 3개, 그리고 셋 중 어느 것도 포함하지 않는 조합 1개를 선택하면, tms, lty, tbl 세 변수로 만들 수 있는 중복되지 않는 조합의 개수는 총 5개가 된다. 이제 여기에 나머지 7개의 거시 예측변수들의 포함 여부에 따라 생성되는 조합의 개수인 2⁷을 곱해주고, 마지막으로 10개의 거시 변수가 모두 포함되지 않는 1개의 조합을 제외하면 총 639(=5×2⁷−1)개의 조합이 만들어진다. 결과적으로, 평가오류를 고려하지 않는 조건부 모형인 M3 유형과 평가오류를 고려하는 조건부 모형인 M4 유형은 각각 5,234,688(=8,192×639)개씩의 후보 모형을 포함하게 된다. 따라서 본 연구의 BMA 방법은 총 10,485,760(=2×8,192+2×5,234,688)개의 후보 모형들의 정보를 포괄하여 통합 요인 모형을 도출하게 된다.

먼저 각 후보 모형에 대해서 사후확률을 계산한 뒤, 사후확률이 가장 높은 것부터 가장 낮은 것까지 모든 후보 모형을 순서대로 나열한다. 모형별 사후확률의 계산은 2장에서 설명한 방법을 따르며, 이 때 각 모형에 대한 검증 자산은 총 14개의 요인 가운데 해당 모형에 포함되지 않은 나머지 요인 포트폴리오들이다. 또한 사후확률을 계산하기 위해 사전 샤프비율 배수를 나타내는 τ의 값을 1.25, 1.5, 2, 또는 3으로 설정한다. 이제 각 τ에 대해서, 사후확률이 높은 순으로 나열된 후보 모형들의 누적 사후확률을 [그림 1]에 나타낸다. 누적 사후확률 그래프의 형태를 보면, 사후확률이 특별히 높은 소수의 모형이 존재하기 보다는 다수의 후보 모형들이 상당히 고른 사후확률을 가지는 것을 알 수 있다. 예를 들어 τ=1.5인 경우, 사후확률이 가장 높은 상위 10⁴개의 모형의 누적 사후확률이 33%에 불과하며, 상위 10⁵개 및 10⁶개 모형의 누적 사후확률은 각각 79%와 99%이다. 만약 모든 후보 모형 가운데 몇 개의 특정 모형만이 매우 높은 사후확률을 가진다면, 기대수익률의 예측 시 모형에 대한 불확실성을 고려하는 것이 크게 중요하지 않으며 적절한 모형 선택 방법론에 의해 유의미한 요인 및 거시 예측변수를 선택하는 것만으로 충분히 좋은 가격결정 모형을 구성할 수 있을 것이다. 그러나 우리의 결과에 따르면, 다양한 가격결정 요인과 거시 예측변수의 포함 여부 및 평가오류의 존재 여부에 따라 달라지는 방대한 수의 후보 모형들이 대체로 비슷한 수준의 사후확률을 가지며 명확한 승자 모형이 없음을 알 수 있다. 그렇다면 기대수익률을 예측할 때 모형의 불확실성을 고려하는 것이 매우 중요하며, 따라서 모형의 불확실성을 고려할 수 있도록 고안된 BMA 방법을 적용하여 통합 모형을 구성하는 것이 일반적인 모형 선택 방법을 적용하는 것보다 훨씬 적합한 접근 방법이 될 것이다.

[그림 1]

요인 모형의 누적 사후확률

이 그림은 서로 다른 τ값에 대해서 계산된 사후확률의 순서대로 모든 후보 요인 모형들을 내림차순으로 나열했을 때 누적 사후확률의 그래프를 나타낸 것이다. 후보 모형들의 유형은 <표 1>에서 구분한 것과 같고, 각 유형별 후보 모형의 개수는 M1 및 M2 유형 각 8,192개와 M3 및 M4 유형 각 5,234,688개를 포함하여 총 10,485,760개이다.

다음으로 각 후보 모형 단위의 사후확률을 살펴보는 대신, 후보 모형을 구성하기 위해 고려한 개별 요인 및 거시 예측변수 각각에 대한 누적 사후확률을 살펴본다. 구체적으로, 개별 요인 k에 대한 사후확률은 모든 후보 모형 가운데 요인 k를 포함하는 모형들의 사후확률의 합계로 정의하며, 다음 식 (14)와 같이 계산한다.

(14)

P(k included|D)=∑l=1LP(Ml|D)•1{k included in Ml}

마찬가지로, 개별 거시 예측변수 m에 대한 사후확률은 예측변수 m을 포함하는 후보 모형들의 사후확률의 합계로 정의하고 식 (15)와 같이 계산한다.

(15)

P(m included|D)=∑l=1LP(Ml|D)•1{m included in Ml}

<표 3>은 사전 샤프비율 배수 τ에 대한 서로 다른 가정 하에서 계산된 각 가격결정 요인 및 거시 예측변수들의 사후확률을 나타낸다. 패널 A에 나타낸 각 요인에 대한 사후확률을 τ=1.5인 경우를 중심으로 살펴보면, ICR 요인의 사후 포함확률이 거의 100%에 가까우며, 그 뒤를 이어 OCF, RESFF3, HML, MGMT 요인 순으로 모두 92% 이상의 높은 사후 포함확률을 가진다. 이는 ICR, OCF, RESFF3, HML, MGMT 등 다섯 개의 요인이 나머지 9개 요인 포트폴리오의 수익률을 설명하는데 중요한 역할을 하는 것을 의미한다. 또한 τ에 대한 사전적 믿음이 달라질 때, 모든 τ에 대해 90% 이상의 높은 포함확률을 가지는 요인은 ICR, OCF, RESFF3이다. 이 세 가지 요인들은 상대적으로 최근에 알려진 것들로 아직까지 한국 주식시장에서의 성과가 검증되거나 잘 알려져 있지 않은데, 이처럼 새롭게 알려진 요인들이 이미 잘 알려져 있던 기존의 요인들에 대한 추가적인 설명력을 가지는 것을 알 수 있다. 한편 우리가 고려한 요인들 중에는 서로 중복된 정보를 가지는 경우가 있는데, 예를 들어 Asness et al. (2019)의 QMJ 요인은 수익성, 성장성, 안정성을 나타내는 다양한 특성변수들의 정보를 반영하여 구성된다는 점에서 수익성요인인 RMW와 중복된 정보를 포함한다. 실제로 <표 2> 에서 두 요인간 상관계수가 0.78로 매우 높은 것을 알 수 있으며, 여기서는 QMJ 요인이 모든 τ에 대해 항상 RMW 요인보다 높거나 같은 사후 포함확률을 가지는 것을 알 수 있다. 이는 QMJ 요인이 있을 때 RMW 요인은 불필요한 요인일 가능성을 시사한다. 또한 모멘텀 관련 요인들의 경우를 살펴보면, 일반적인 수익률의 모멘텀요인 MOM에 비해서 잔차모멘텀요인 RESFF3가 모든 τ에 대해 항상 더 높은 사후 포함확률을 가진다.

<표 3>

요인 포트폴리오와 거시 예측변수들의 사후확률

이 표는 전체 후보 모형들을 대상으로 τ 값에 대한 다양한 가정 하에서 베이지안 모형 평균을 적용했을 때, 개별 요인 및 거시 예측변수들이 포함된 모형들의 사후확률의 합계를 계산한 결과이다. 패널 A는 개별 요인 포트폴리오에 대한 누적 사후확률을 나타낸다. 패널 B는 개별 거시 예측변수에 대한 누적 사후확률을 나타낸다. 패널 C의 조건부 모형 확률은 모형 유형이 M3 또는 M4인 조건부 모형으로 분류되는 모든 후보 모형들의 사후확률의 합계이다. 평가오류 확률은 평가오류를 허용하는 모형 유형인 M2 또는 M4에 속하는 모든 후보 모형들의 사후확률의 합계이다. 평균 T₀ 는 식 (13)에 주어진 각 모형별 가상 표본의 크기의 평균값을 나타낸다. 평균 축소효과는 가상 및 실제 표본 크기 중 가상 표본 크기의 비중을 의미하는 T₀/(T₀ + T)의 평균값을 나타낸다.

	τ = 1.25	τ = 1.5	τ = 2	τ = 3
A. 요인 포트폴리오
MKT	1.00	1.00	1.00	1.00
SMB	0.86	0.83	0.77	0.33
HML	0.95	0.94	0.94	0.88
RMW	0.37	0.29	0.18	0.06
CMA	0.55	0.44	0.32	0.10
MOM	0.36	0.24	0.10	0.04
OCF	0.99	0.99	0.98	0.97
RESFF3	0.98	0.97	0.97	0.96
QMJ	0.39	0.30	0.18	0.07
BAB	0.35	0.25	0.11	0.02
MGMT	0.94	0.92	0.87	0.54
PERF	0.43	0.35	0.20	0.08
COP	0.40	0.32	0.16	0.02
ICR	1.00	1.00	1.00	0.99

B. 거시 예측변수
dp	0.54	0.57	0.68	0.88
dy	0.56	0.56	0.53	0.48
ep	0.54	0.54	0.57	0.75
svar	0.62	0.65	0.67	0.79
bm	0.56	0.59	0.64	0.69
tbl	0.40	0.37	0.30	0.19
lty	0.22	0.23	0.23	0.16
tms	0.41	0.39	0.36	0.38
dfy	0.55	0.56	0.59	0.76
infl	0.43	0.35	0.22	0.11

C. 기타 통계량
조건부 모형(M3 & M4) 확률	1.000	1.000	1.000	1.000
평가오류(M2 & M4) 확률	0.458	0.397	0.248	0.036
평균T₀	3,798	1,709	712	267
평균 축소효과T₀/(T₀ + T)	0.955	0.907	0.806	0.617

패널 B는 각 거시 예측변수의 사후 포함확률을 나타내는데, 각 요인들의 사후 포함확률이 요인마다 상당한 차이를 보이는 것과 달리 거시 예측변수들의 사후 포함확률은 변수들 간에 큰 차이를 보이지 않는 편이다. τ=1.5인 경우 코스피200 지수 수익률 변동성인 svar이 65%로 가장 높은 사후 포함확률을 가지며, 다음으로는 bm, dp 순으로 각각 59%, 57%, dy와 dfy는 각각 56%의 사후확률을 가진다. 한편 가격결정 요인의 경우 모든 요인의 사후확률이 τ가 커질수록 낮아지지만, 거시 예측변수는 반대로 τ가 커질수록 높은 사후확률을 가진다. 실제로 달성 가능성이 낮은 극단적인 샤프비율 배수인 τ=3에서는 배당주가비율 dp가 88%로 가장 높은 사후 포함확률을 가진다. 패널 B의 전체적인 결과는 다양한 거시 예측변수들이 대체로 상당한 수준의 사후확률을 가진다는 것으로, 가격결정 요인 뿐 아니라 거시 예측변수를 함께 고려함으로써 주식 기대수익률의 횡단면 및 시계열 차이를 적절히 예측할 수 있음을 보여준다.

패널 C는 베이지안 모형 평균에서 추정된 그 외의 주요 통계량을 요약한다. 먼저 조건부 모형 확률은 모수의 시가변성을 허용하는 모형들의 사후확률을 나타낸 것으로, 후보 모형들 중 M3 또는 M4 유형의 조건부 모형에 속하는 모든 모형들의 사후확률 합계이다. 이 확률은 샤프비율 배수 τ의 값과 관계없이 항상 100%로 나타나는데, 이는 거시 변수에 의한 예측가능성이 없다는 사전적 믿음을 반영하는 베이지안 접근법에서도 조건부 모형을 비조건부 모형보다 일관되게 선호하는 것을 보여준다. 다음으로 평가오류 확률은 평가오류를 허용하는 모형들의 사후확률을 나타낸 것으로, M2 또는 M4 유형에 속하는 모든 후보 모형들의 사후확률의 합계이다. 현실적으로 타당한 수준의 샤프비율 배수인 τ=1.25, 1.5, 또는 2인 경우에 평가오류 확률은 약 25%에서 46% 사이의 값을 가진다. 이는 매우 높지는 않으나 무시될 수 없을 만한 확률로, 우리가 분석한 요인 및 거시 예측변수들의 집합으로부터 생성 가능한 요인 모형들이 모두 0의 알파를 가진다고 가정했을 때 검증 자산들의 기대수익률의 횡단면 및 시계열을 충분히 설명하기 어려울 수 있음을 의미한다.

패널 C에서 다음 순서로 나타낸 것은 가상 표본의 크기인 T₀의 평균값으로, 식 (13)에서 보듯이 샤프비율 배수 τ가 작을수록 T₀는 증가한다. 가상 표본의 크기는 베이지안 사후확률을 추정할 때 사전적 믿음이 반영되는 정도를 결정하며, 해당 모형의 모수 값이 0이라는 사전적 믿음의 반영 정도가 클수록 추정 결과의 축소효과가 강화된다. 베이지안 추정의 평균 축소효과를 나타내기 위해 가상 및 실제 표본 크기 가운데 가상 표본 크기의 비중을 뜻하는T₀/(T₀+T)의 평균값도 함께 보고한다. 결과로부터, 사전 샤프비율 배수 τ가 낮을수록 모형의 평가오류 및 시가변성이 없다는 사전적 믿음을 더 큰 비중으로 반영함으로써 추정 결과의 축소효과가 더욱 커지는 것을 확인할 수 있다. 예를 들어 τ=1.5인 경우, 실제 표본의 비중은 평균적으로 약 9.3%에 그치며 나머지 약 90.7%는α0, α1및 β1의 값이 0으로 설정된 가상 표본의 비중임을 의미한다.

5. 통합 요인 모형의 표본 외 성과

이 장에서는 베이지안 모형 평균으로부터 구성된 통합 모형의 표본 외 성과를 평가해본다. 표본 외 성과를 비교하기 위한 벤치마크 모형으로는 (i) MKT 요인만을 포함하는 CAPM, (ii) MKT, SMB, HML 요인을 포함하는 Fama and French (1993) 3요인 모형 (FF3F), (iii) MKT, SMB, HML, RMW, CMA 요인을 포함하는 Fama and French (2015) 5요인 모형 (FF5F), 그리고 (iv) MKT, SMB, HML, MOM, BAB, QMJ 요인을 포함하는 AQR 6요인 모형 (Frazzini, Kabiller, and Pedersen, 2018)을 선택한다. 또한 BMA 통합 모형 외에도, 후보 모형들 중 베이지안 사후확률이 가장 높게 추정된 상위 세 개의 개별 모형들도 표본 외 성과를 측정하여 비교한다.

5.1 표본 외 샤프비율

먼저 요인 모형의 성과를 접점 포트폴리오(tangency portfolio)의 샤프비율을 통해 평가해본다. 표본 외 성과를 측정하기 위해 전체 표본 기간을 둘로 나누어 표본 내 기간과 표본 외 기간으로 구분한다. 표본 내 기간을 구분하기 위해 두 가지 기준을 적용하는데, 첫 번째 기준은 전체 기간의 절반(T/2)을 표본 내 기간으로 설정하는 것이고 두 번째는 전체 기간의 2/3, 즉 2T/3를 표본 내 기간으로 설정하는 것이다. 벤치마크 모형들의 경우, 표본 내 기간의 수익률 관측치를 이용하여 접점 포트폴리오 가중치를 산출하며 해당 가중치로 표본 외 기간에 투자할 경우의 샤프비율을 계산한다. 베이지안 모형의 경우, 우선 표본 내 기간의 자료를 이용하여 각 모형별 사후확률을 도출한다. 사후확률이 가장 높은 상위 세 개의 개별 모형은 각 모형이 포함하는 요인들의 표본 내 기간 수익률을 이용하여 적률의 베이지안 예측치를 추정하고, 이를 바탕으로 산출되는 접점 포트폴리오 가중치로 표본 외 기간에 투자한다고 가정한다. BMA 통합 모형은 접점 포트폴리오 가중치를 계산하기 위해 필요한 적률의 예측치를 전체 후보 모형별 사후확률로 가중평균하여 추정하며, 마찬가지로 해당 접점 포트폴리오 가중치로 표본 외 기간에 투자할 경우의 샤프비율을 계산한다.

<표 4>는 위에 설명한 방식을 따라 산출된 각 모형별 접점 포트폴리오의 표본 내 기간 및 표본 외 기간 연율화된 샤프비율을 나타낸 것이다. 베이지안 모형의 경우 τ=1.5인 사전 샤프비율 배수를 가정한다. 패널 A는 제약조건이 없이 도출된 모형별 접점 포트폴리오의 샤프비율을 나타낸다. BMA 모형과 베이지안 사후확률 기준 최상위 3개 모형들은 모두 벤치마크 모형에 비해 훨씬 높은 표본 내 및 표본 외 샤프비율을 보이며, 이 결과는 표본 내 기간 설정 기준과 관계없이 일관되게 나타난다. 표본 내 기간이 2T/3인 경우를 중심으로 살펴보면, 베이지안 모형들의 표본 내 샤프비율은 모두 2를 상회하며 표본 외 샤프비율은 1 이상이다. 특히 BMA 모형은 1.19로 가장 높은 표본 외 샤프비율을 가지는데, 이는 벤치마크 모형 중 가장 성과가 좋은 AQR6 모형보다 무려 2.6배나 높은 결과이다.

<표 4>

표본 외 샤프비율

이 표는 다양한 요인 모형의 표본 외 샤프비율을 나타낸다. 벤치마크 모형으로는 CAPM, FF3F, FF5F 및 AQR6 모형을, 베이지안 모형으로는 표본 내에서 추정된 모형별 사후확률이 가장 높은 1위부터 3위까지의 개별 모형 및 BMA 통합 모형을 대상으로 한다. 베이지안 모형의 사후확률은 τ = 1.5의 가정 하에서 추정한다. 패널 A는 각 벤치마크 및 베이지안 모형을 기준으로 한 접점 포트폴리오에 대해 표본 내 기간 및 표본 외 기간의 연율화된 샤프비율을 보고한다. 표본 내 성과는 표본 내 기간을 전체 기간(T), 1/2 기간(T/2), 2/3 기간(2T/3)으로 설정했을 때로 나뉜다. 패널 B는 각 모형마다 포트폴리오 가중치 절대값의 합이 2를 넘을 수 없다는 제약조건 하에서 도출된 접점 포트폴리오의 샤프비율을 보고한다. 패널 C는 각 모형별 전역 최소분산 포트폴리오의 샤프비율을 보고한다.

모형	T	T/2		2T/3

	표본 내	표본 내	표본 외	표본 내	표본 외
A. 접점 포트폴리오
(벤치마크 모형)
CAPM	0.340	0.547	0.079	0.485	0.056
FF3	0.545	0.840	0.213	0.668	0.257
FF5	0.689	0.924	0.403	0.854	0.383
AQR6	1.025	1.345	0.558	1.276	0.448
(베이지안 모형)
사후확률 1위 모형	1.971	2.049	1.073	2.190	1.113
사후확률 2위 모형	1.968	2.047	1.076	2.216	1.108
사후확률 3위 모형	1.981	2.069	1.078	2.194	1.122
BMA 통합 모형	2.065	2.361	1.174	2.302	1.185

B. 제약조건 ∑i=114\|wi\|≤2 하의 접점 포트폴리오
(벤치마크 모형)
CAPM	0.340	0.547	0.079	0.485	0.056
FF3	0.540	0.838	0.203	0.667	0.256
FF5	0.576	0.852	0.219	0.757	0.257
AQR6	0.753	1.141	0.292	0.973	0.333
(베이지안 모형)
사후확률 1위 모형	1.287	1.553	1.783	1.565	2.692
사후확률 2위 모형	1.278	1.570	1.872	1.605	2.648
사후확률 3위 모형	1.284	1.606	1.896	1.585	2.792
BMA 통합 모형	1.372	1.955	2.114	1.612	2.441

C. 전역 최소분산 포트폴리오
(벤치마크 모형)
FF3	0.502	0.743	0.260	0.643	0.247
FF5	0.598	0.636	0.605	0.723	0.461
AQR6	0.876	1.189	0.658	1.229	0.401
(베이지안 모형)
사후확률 1위 모형	1.147	1.732	0.821	1.765	0.515
사후확률 2위 모형	1.148	1.732	0.823	1.765	0.516
사후확률 3위 모형	1.151	1.735	0.818	1.771	0.509
BMA 통합 모형	1.165	1.755	0.828	1.753	0.546

패널 B는 접점 포트폴리오가 현실적으로 실행 불가능한 극단적인 매수 및 매도 포지션을 가지지 않도록 하기 위해서 각 요인별 가중치 절대값의 합이 2를 초과할 수 없다는 제약조건, 즉 ∑i=114|wi|≤2하에서 도출된 접점 포트폴리오의 성과를 나타낸다. 제약조건이 없는 패널 A의 결과와 비교해보면, 표본 내 기간 샤프비율은 제약조건에 의해 모든 모형에서 더 낮아진다. 그러나 여전히 모든 베이지안 모형의 표본 내 샤프비율이 벤치마크 모형의 샤프비율을 상회한다. 더욱 흥미로운 점은 표본 외 샤프비율인데, 벤치마크 모형의 표본 외 샤프비율은 제약조건에 의해 더 낮아진 반면 베이지안 모형들의 표본 외 샤프비율은 오히려 제약조건이 없을 때보다 높아진다. 표본 내 기간이 2T/3으로 설정된 경우 베이지안 사후확률 3위 모형의 표본 외 샤프비율이 2.79로 가장 높으며, 모든 베이지안 모형은 AQR6 모형보다 7.3배에서 8.4배 가량 더 높은 표본 외 샤프비율을 보인다.

패널 C는 모형별 전역 최소분산 포트폴리오(global minimum variance portfolio)의 샤프비율을 나타낸다. 접접 포트폴리오 가중치는 공분산 행렬 및 기대수익률에 대한 예측치를 바탕으로 도출되는 반면, 전역 최소분산 포트폴리오 가중치는 공분산 행렬의 예측치만을 바탕으로 도출된다. 공분산 행렬에 대한 식 (5)를 고려할 때, 모형의 불확실성이 자산 가격결정에 중요한 의미를 가진다면 BMA 통합 모형의 최소분산 포트폴리오가 벤치마크 모형 대비 개선된 성과를 가질 것으로 기대할 수 있다. 전체 결과로부터 최소분산 포트폴리오의 경우에도 베이지안 모형의 표본 내 및 표본 외 성과가 항상 벤치마크 모형보다 높은 것을 알 수 있다. 표본 내 기간이 2T/3일 때, BMA 통합 모형의 표본 외 샤프비율은 0.55로 벤치마크 모형뿐 아니라 개별 베이지안 모형들에 비해 가장 높다. 이는 공분산 행렬의 추정 시 모형의 불확실성을 고려하는 것이 결과에 상당한 영향을 미친다는 것을 시사한다.

5.2 표본 외 하방위험

이 절에서는 각 요인 모형 하에서의 접점 및 최소분산 포트폴리오의 표본 외 하방위험을 살펴본다. 표본 내 기간을 2T/3로 설정했을 때, 각 모형 별 접점 및 최소분산 포트폴리오의 가중치를 도출한 후 해당 가중치로 투자한 표본 외 기간의 월별 초과 수익률에 대한 평균, 표준편차, 왜도, 초과첨도 및 최대 낙폭(maximum drawdown) 등을 계산한다. 최대 낙폭의 정의는 다음 식 (16)과 같다.

(16)

MDD=0≤t1≤t2≤Tmax(Yt1−Yt2)

여기서 Y_t1과Y_t2는 각각 0시점부터 t₁시점 및 t₂시점까지의 누적 로그수익률을 나타낸다.

<표 5>는 벤치마크 모형 및 τ=1.5로 가정한 베이지안 모형들의 표본 외 수익률 통계량 및 하방 위험을 나타낸다. 패널 A는 제약조건 없이 도출된 모형별 접점 포트폴리오의 결과이다. 전체적으로 베이지안 모형들은 벤치마크 모형에 비해 접점 포트폴리오의 평균 수익률이 높으며, 변동성은 다른 벤치마크 모형들보다 낮거나 유사하지만 AQR6 모형에 비해서는 더 높다. 또 베이지안 모형 기준의 접점 포트폴리오는 모두 음의 왜도를 가지나 벤치마크 모형들에 비해서는 절대값이 작으며, 벤치마크 모형들과 달리 음의 초과첨도를 가진다. 이는 베이지안 모형 하에서 최적 포트폴리오를 구성했을 때 극단적인 손실이 발생할 가능성이 더 낮아지는 것을 보여준다. 최대 낙폭 또한 베이지안 모형에서 전반적으로 낮아진다. 다만 BMA 통합 모형의 최대 낙폭은 8.68%로 벤치마크 모형 중 최대 낙폭이 가장 작은 AQR6 모형에 비해 약간 높은 편이며, 오히려 베이지안 사후확률 상위의 개별 모형들이 7.82%에서 7.95% 사이의 더 낮은 최대 낙폭을 보인다.

<표 5>

표본 외 하방위험

이 표는 다양한 요인 모형에 따른 표본 외 수익률 분포의 주요 통계량과 하방위험을 나타낸다. 벤치마크 모형으로는 CAPM, FF3F, FF5F 및 AQR6 모형을, 베이지안 모형으로는 표본 내에서 추정된 모형별 사후확률이 가장 높은 1위부터 3위까지의 개별 모형 및 BMA 통합 모형을 대상으로 한다. 베이지안 모형의 사후확률은 τ = 1.5의 가정 하에서 추정한다. 표본 내 기간은 전체 기간의 2/3 기간(2T/3)으로 설정하며, 표본 내 기간의 수익률을 이용하여 모형별 접점 포트폴리오 가중치를 도출한다. 해당 포트폴리오 가중치로 표본 외 기간에 투자하여 얻는 월별 초과 수익률의 평균, 표준편차, 샤프비율, 왜도, 초과첨도 및 최대 낙폭을 계산한다. 패널 A는 각 모형별 접점 포트폴리오, 패널 B는 포트폴리오 가중치 절대값의 합이 2를 넘을 수 없다는 제약조건 하에서의 접점 포트폴리오, 그리고 패널 C는 전역 최소분산 포트폴리오에 대한 통계량을 각각 보고한다.

모형	평균	표준편차	샤프비율	왜도	초과첨도	최대 낙폭
A. 접점 포트폴리오
(벤치마크 모형)
CAPM	0.089	5.553	0.056	-0.281	0.705	36.395
FF3	0.221	2.978	0.257	-0.155	2.178	22.701
FF5	0.194	1.756	0.383	0.121	0.221	10.394
AQR6	0.192	1.487	0.448	-0.610	1.053	8.454
(베이지안 모형)
사후확률 1위 모형	0.635	1.978	1.113	-0.128	-0.298	7.818
사후확률 2위 모형	0.622	1.946	1.108	-0.173	-0.305	7.947
사후확률 3위 모형	0.630	1.945	1.122	-0.170	-0.282	7.876
BMA 통합 모형	0.669	1.955	1.185	-0.015	-0.758	8.675

B. 제약조건 ∑i=114\|wi\|≤2 하의 접점 포트폴리오
(벤치마크 모형)
CAPM	0.178	11.105	0.056	-0.281	0.705	63.025
FF3	0.450	6.088	0.256	-0.185	2.165	43.367
FF5	0.391	5.269	0.257	-0.214	0.464	40.333
AQR6	0.458	4.766	0.333	-0.902	2.150	39.886
(베이지안 모형)
사후확률 1위 모형	3.689	4.746	2.692	0.704	0.633	7.012
사후확률 2위 모형	3.527	4.615	2.648	0.429	0.147	9.105
사후확률 3위 모형	3.855	4.783	2.792	0.727	0.777	6.861
BMA 통합 모형	3.366	4.777	2.441	0.428	1.470	10.228

C. 전역 최소분산 포트폴리오
(벤치마크 모형)
FF3	0.204	2.852	0.247	-0.021	1.784	19.453
FF5	0.201	1.509	0.461	0.495	0.276	8.822
AQR6	0.155	1.341	0.401	-0.505	0.705	7.426
(베이지안 모형)
사후확률 1위 모형	0.260	1.749	0.515	0.048	-0.911	9.541
사후확률 2위 모형	0.260	1.746	0.516	0.046	-0.914	9.459
사후확률 3위 모형	0.258	1.753	0.509	0.040	-0.902	9.587
BMA 통합 모형	0.254	1.614	0.546	0.122	-0.852	8.183

패널 B는 보다 현실적인 포트폴리오 가중치를 반영하기 위해 각 요인별 가중치 절대값의 합이 2를 넘을 수 없다는 제약조건 하에서 도출된 접점 포트폴리오에 대한 결과이다. 제약조건 하의 접점 포트폴리오는 베이지안 모형의 경우 벤치마크 모형에 비해 훨씬 낮은 하방위험을 가진다. 구체적으로, 베이지안 모형의 표본 외 수익률의 변동성은 벤치마크 모형 중 가장 변동성이 낮은 AQR6 모형과 유사한 수준이다. 수익률 왜도는 벤치마크 모형 하에서는 모두 음수이나 베이지안 모형에서는 모두 양수이다. 초과첨도는 모든 모형에 대해 양수이나, 그 절대값은 벤치마크 모형에 비해 베이지안 모형 하에서 더 작은 편이다. 포트폴리오 가중치의 제약조건을 부여한 경우 특히 주목할 만한 결과는, 베이지안 모형의 최대 낙폭이 벤치마크 모형에 비해 크게 개선된다는 점이다. BMA 통합 모형의 최대 낙폭은 10.23%로 벤치마크 모형의 경우 39.89%에서 63.03% 사이인 것에 비해 크게 낮으며, 다만 사후확률이 높은 개별 모형들에 비해서는 다소 높은 편이다.

한편 패널 C는 각 모형별 전역 최소분산 포트폴리오의 결과를 나타낸다. 베이지안 모형으로부터 도출된 최소분산 포트폴리오의 수익률은 양의 왜도와 음의 초과첨도를 가지며, 8.18%에서 9.59% 사이의 전체적으로 낮은 수준의 최대 낙폭을 가진다. 따라서 앞서 접점 포트폴리오의 결과와 마찬가지로, 베이지안 모형으로부터 도출한 포트폴리오의 표본 외 하방위험이 벤치마크 모형에 비해 낮은 것을 알 수 있다.

마지막으로 [그림 2]를 통해 BMA 통합 모형으로부터 구성한 접점 포트폴리오의 투자 성과를 시간에 따라 나타낸다. 구체적으로, τ=1.5로 가정한 BMA 통합 모형 하에서 표본 내 기간을 전체 기간(T), 1/2 기간(T/2), 2/3 기간(2T/3)으로 설정하여 도출된 세 개의 접점 포트폴리오에 각각 1원씩을 초기에 투자하여 계속 보유했을 때의 누적 초과 수익의 그래프를 나타낸다. 여기서 각 접점 포트폴리오의 표본 내 수익률 변동성이 동일 기간 시장 포트폴리오의 변동성과 같도록 하는 레버리지 비율을 산출하여 이를 표본 외 기간까지 적용한다. 표본 내 기간의 설정 기준과 관계없이, BMA 통합 모형의 접점 포트폴리오는 시장 포트폴리오를 크게 뛰어넘으며 더 안정적인 수익을 보여준다. 특히 시장 수익률의 하락 및 변동성이 두드러졌던 2008-2009년 글로벌 금융위기 기간이나 2020년 초반의 코로나19 팬데믹 기간에도 BMA 접점 포트폴리오는 크게 하락하지 않으며 안정적인 상승 추세를 이어가는 것을 알 수 있다. 이러한 결과는 표본 외 기간에 상대적으로 높은 샤프비율과 낮은 하방위험을 가지도록 하는 BMA 모형의 성과와 일관된 것이다.

[그림 2]

BMA 통합 모형의 성과

이 그림은 시장 포트폴리오(MKT)와 BMA 통합 모형으로부터 도출된 세 개의 접점 포트폴리오에 각각 초기에 1원을 투자하여 보유했을 때의 누적 초과 수익을 나타낸 것이다. 베이지안 사후확률 추정 시 사전 샤프비율 배수는 τ = 1.5로 가정하며, 표본 내 기간은 전체 기간(T), 1/2 기간(T/2), 2/3 기간(2T/3) 중 하나로 설정한다. 접점 포트폴리오는 표본 내 기간의 수익률 변동성이 시장 포트폴리오의 변동성과 동일해지도록 적정 레버리지를 적용하여 구성하고, 이 레버리지 비율은 표본 외 기간에도 적용한다. 파란색 점선으로 나타낸 수직선은 표본 내 기간인 T/2 및 2T/3의 종료 시점을 표시한다.

5.3 포트폴리오 가중치

이 절에서는 BMA 통합 모형에서 도출한 접점 포트폴리오의 14개 요인들에 대한 투자 가중치를 살펴본다. 접점 포트폴리오의 성과가 우월하기 위해서는 향후 높은 수익률이 실현될 요인에 더 많이 투자하고 낮은 수익률이 실현될 요인에 적게 투자해야 할 것이다. 특히 향후 성과가 나쁠 요인에 대한 투자를 줄이거나 피하는 것은 하방위험을 낮추는 데에 매우 중요한 역할을 할 것이다.

<표 6>은 표본 내 기간을 전체 기간의 2/3로 하고 사전 샤프비율 배수를 1.5로 설정한 경우의 BMA 통합 모형으로부터 도출된 접점 포트폴리오의 가중치를 나타낸다. 구체적으로, w_k,t는 포트폴리오 구성 시점 t에 요인 k에 투자하는 가중치이며, f_k,t+1은 요인 k의 t + 1 시점 실현 수익률이다. Corr(w_k,t, f_k,t+1)는 접점 포트폴리오 가중치와 요인별 실현 수익률 간의 상관계수이다.

<표 6>

BMA 통합 모형의 접점 포트폴리오

이 표는 14개의 요인 포트폴리오에 대하여 표본 내 및 표본 외 접점 포트폴리오의 가중치(w_k,t)와 실현 수익률(f_k,t+1)을 나타낸다. 포트폴리오 가중치 w_k,t 는 포트폴리오 구성 시점 t에 접점 포트폴리오가 요인 k에 투자하는 비중이며, 실현 수익률 f_k,t+1 은 요인 k의 t + 1 시점 보유기간 수익률이다. 접점 포트폴리오는 τ= 1.5로 가정한 베이지안 통합 모형으로부터 도출된다. 표본 내 기간은 전체 기간의 2/3 기간으로 설정하고, 나머지 기간은 표본 외 기간으로 한다. Corr(w_k,t, f_k,t+1) 는 접점 포트폴리오 가중치와 요인별 실현 수익률 간의 상관계수를 나타낸다.

	w_k,t		f_k,t+1		Corr(w_k,t, f_k,t+1)

	표본 내	표본 외	표본 내	표본 외	표본 내	표본 외
MKT	0.0884	0.0919	0.0076	0.0009	0.2794	0.1142
SMB	0.0855	0.0932	0.0043	-0.0013	0.2759	-0.0513
HML	0.1748	0.1752	0.0052	0.0066	0.2655	-0.2731
RMW	-0.0321	-0.0291	-0.0014	0.0032	0.2193	-0.0813
CMA	0.0568	0.0549	0.0034	0.0026	0.2733	0.2381
MOM	0.0342	0.0296	0.0059	-0.0018	0.3385	0.0142
OCF	0.2208	0.2197	0.0068	0.0002	0.2005	0.2306
RESFF3	0.1960	0.1913	0.0086	-0.0005	0.0553	-0.0454
QMJ	0.0178	0.0198	0.0013	0.0031	0.1513	0.1498
BAB	-0.0072	-0.0076	0.0003	-0.0093	0.3083	-0.1563
MGMT	0.2145	0.2216	0.0052	0.0055	0.2437	0.1437
PERF	0.0066	0.0012	0.0023	0.0016	0.2115	-0.1953
COP	0.0235	0.0220	0.0018	0.0059	0.2455	-0.0987
ICR	-0.0796	-0.0837	-0.0218	-0.0493	0.2632	-0.0102

각 요인에 대해 동일 가중치로 투자하는 경우와 비교할 때, BMA 접점 포트폴리오는 OCF, MGMT, RESFF3 및 HML 요인에 매우 높은 비중으로 투자한다. 포트폴리오 가중치와 요인 실현 수익률의 표본 외 상관계수는 14개 중 6개 요인에서 양수이며, 평균 상관계수는 약 5%이다. 모든 요인에 동일 가중치로 투자하는 경우 해당 상관계수가 0인 점을 고려할 때, BMA 접점 포트폴리오의 가중치와 요인 수익률 간 상관계수가 평균적으로 0보다 큰 것은 BMA 통합 모형의 우월한 표본 외 성과를 뒷받침한다.

6. 모형 불확실성 고려의 중요성

이 장에서는 베이지안 모형 평균 방법의 특징인 모형의 불확실성을 고려하는 것이 자산 가격결정을 다루는 데에 있어서 얼마나 중요한 역할을 하는지 확인할 수 있는 몇 가지 실험 결과를 설명한다.

6.1 분산의 구성요소

이 절에서는 요인 수익률의 표본 분산과 BMA 통합 모형 하에서 추정된 분산을 비교해본다. 식 (17)의 일반적인 분산분해 공식에 따르면, 모집단의 비조건부 분산은 항상 조건부 분산의 평균보다 커야 한다.

(17)

Var(rt+1)=E[Var(rt+1+zt)]+Var[E(rt+1+zt)]

따라서 표본 추정치에 대해서도 마찬가지로, 개별 요인 수익률의 표본 분산이 조건부 분산의 평균보다 클 것을 기대할 수 있다. 한편, 조건부 분산 Var(r_t+1│z_t)는 앞서 2.1절에서 설명한 공분산 행렬의 구성요소 중 모형의 추정 위험 및 모형간 불일치, 즉 모형의 불확실성에 기인하는 요소들을 반영하지 않는다. 이는 모형의 불확실성을 고려하는 베이지안 투자자가 인식하는 분산은 Var(r_t+1│z_t)보다 클 것임을 암시한다. 이를 바탕으로, 만약 모형 불확실성이 자산 가격결정에 있어 중요한 고려 대상이라면, 모형 불확실성을 고려한 BMA 통합 모형으로부터 추정된 조건부 분산의 평균이 비조건부 표본 분산보다 오히려 더 클 것으로 기대할 수 있다. 그러나 반대로 모형 불확실성이 중요하지 않다면, 통합 모형에서 추정된 조건부 분산의 평균보다 비조건부 표본 분산이 클 것이다.

이를 확인하기 위해 BMA 통합 모형의 요인별 조건부 분산의 평균을 식 (5)의 공분산 행렬 Var[r_t+1│D]의 대각 원소들의 시계열 평균으로 계산하고, 이를 요인별 실현 수익률로부터 계산된 표본 분산과 비교한다. 이전 분석과 마찬가지로, 표본 내 기간을 전체 기간(T), 1/2 기간(T/2), 2/3 기간(2T/3)의 세 기준으로 설정하고 사전 샤프비율 배수는 τ=1.5로 가정하여 개별 요인 수익률의 표본 내 및 표본 외 분산을 계산한다. <표 7>에서 해당 결과를 보고한다.

<표 7>

BMA 통합 모형 분산과 표본 분산의 비교

이 표는 개별 요인 수익률의 표본 내 및 표본 외 분산을 나타낸다. V̅_t+Ω̅_t는 BMA 통합 모형에서 추정된 조건부 분산의 평균으로, 식 (5)의 공분산 행렬 Var[r_t+1|D] 의 대각 원소의 시계열 평균으로 계산한다. 표본 분산은 개별요인의 실현 수익률의 표본 분산을 나타낸다. 표본 내 추정치는 표본 내 기간을 각각 전체 기간(T), 1/2 기간(T/2), 2/3 기간(2T/3)으로 설정했을 때의 추정 결과이며, 표본 외 추정치는 나머지 기간에 대한 추정 결과이다. 사전 샤프비율 배수는 τ = 1.5로 가정한다

	T 표본 내		T/2				2T/3

			표본 내		표본 외		표본 내		표본 외

	V̅_t+Ω̅_t	표본 분산	V̅_t+Ω̅_t	표본 분산	V̅_t+Ω̅_t	표본 분산	V̅_t+Ω̅_t	표본 분산	V̅_t+Ω̅_t	표본 분산
MKT	29.712	29.699	37.140	37.026	37.704	22.202	29.203	29.192	29.348	30.833
SMB	15.904	15.869	18.904	18.759	19.307	13.078	17.161	17.068	17.279	13.430
HML	23.259	23.226	20.598	20.441	20.899	26.084	20.760	20.716	20.881	28.650
RMW	13.800	13.751	14.084	13.872	13.880	13.598	12.760	12.674	12.702	15.988
CMA	11.239	11.149	12.555	12.434	12.841	9.952	11.449	11.330	11.557	10.926
MOM	28.322	28.448	38.406	39.127	39.433	17.876	33.429	33.887	33.684	17.331
OCF	11.122	11.110	13.064	13.011	13.240	9.272	11.894	11.875	11.949	9.404
RESFF3	12.214	12.198	16.289	16.199	16.516	8.126	14.564	14.525	14.631	7.050
QMJ	15.584	15.527	19.389	19.238	19.380	11.829	16.723	16.688	16.635	13.345
BAB	24.990	25.054	37.848	37.798	39.347	12.380	30.547	30.609	31.073	13.422
MGMT	10.192	10.154	7.843	7.744	7.954	12.675	8.037	7.979	8.083	14.728
PERF	15.607	15.568	18.437	18.446	19.173	12.792	16.545	16.526	16.896	13.820
COP	15.465	15.375	18.481	18.312	18.808	12.336	15.960	15.892	15.999	14.414
ICR	107.767	107.659	171.630	171.077	174.050	38.035	136.126	136.043	136.791	46.079

전체 표본 기간 내에서 14개 요인 중 12개 요인의 BMA 통합 모형 분산의 평균이 표본 분산보다 크다. 표본 내 기간을 1/2 및 2/3 기간으로 설정하여도 12개 요인에 대해 BMA 통합 모형 분산이 더 크다. 표본 외 추정치의 경우, 표본 내 기간이 T/2일 때와 2T/3일 때 각각 14개 중 12개 요인 및 10개 요인에 대해 BMA 통합 모형 분산이 더 크다. 또한 주목할 만한 점은, 통합 모형의 분산과 표본 분산의 격차가 표본 외에서 상당히 확대된다는 것이다. 표본 내 기간이 T/2일 때와 2T/3일 때 통합 모형의 표본 외 분산은 표본 분산보다 평균적으로 각각 79% 및 39% 더 높다. 분산 구성요소에 대한 이 같은 결과를 통해 한국 주식시장에서 수익률 공분산 행렬의 구성요소 중에서 추정 위험 및 모형간 불일치 요소가 상당히 중요하며, 따라서 이러한 모형 불확실성을 고려하는 것이 자산 가격결정 시 투자자가 인식하는 진정한 위험의 수준을 반영하기 위해서 필수적임을 알 수 있다. 특히 모형 불확실성을 고려하는 것은 표본 외 예측 결과에 더 큰 영향을 미친다.

6.2 모형간 불일치

이번에는 BMA 통합 모형의 공분산 행렬 구성요소 중에서도 모형간 불일치 요소에 대해 중점적으로 분석한다. 식 (5)의 공분산 행렬에서 두 번째 항인 Ω_t은 식 (6)과 같이 주어지며, 이는 각 후보 모형들 간 기대수익률에 대한 예측의 불일치 정도를 나타낸다. 이 절에서 공분산 행렬에 대한 모형간 불일치 요소의 상대적 기여를 측정하기 위해서 Van Nieuwerburgh and Veldkamp (2010)의 엔트로피 개념을 응용한다. 이들의 엔트로피 개념을 활용하면, 새로운 정보의 획득으로 인한 엔트로피 감소를 추가 정보를 획득하기 전 공분산 행렬의 행렬식을 정보 획득 이후 (조건부) 공분산 행렬의 행렬식으로 나눈 비율로 측정할 수 있다. 새로운 정보로 인해 엔트로피가 감소하듯이, 공분산 행렬 중 모형간 불일치 요소인 Ω_t는 진정한 모형에 대한 정보의 부재로 인한 엔트로피의 증가를 반영한다고 해석할 수 있다. 따라서, 공분산 행렬에 대한 모형간 불일치 요소의 기여를 다음과 같이 엔트로피의 증가로 측정한다.

(18)

EIt=|Vt+Ωt||Vt|

이전 분석에서와 같이 표본 내 기간을 전체 기간(T), 1/2 기간(T/2), 2/3 기간(2T/3)의 세 기준으로 설정하고 사전 샤프비율 배수는 τ=1.5로 가정하여 식 (18)과 같이 엔트로피 증가를 계산한다. <표 8>의 패널 A는 EI_t의 평균, 95번째 및 99번째 백분위수, 최대값을 나타낸다. 전체 표본 기간 내에서 EI_t의 평균은 1.005로 평균적인 엔트로피 증가는 미미하지만, 95번째 및 99번째 백분위수가 각각 1.006, 1.012이고 최대값은 1.031로 오른쪽으로 상당히 치우친 분포를 가진다. 표본 내 기간을 2T/3로 설정한 경우의 표본 외 엔트로피 증가의 99번째 백분위수는 1.021, 최대값은 1.025이다. 구체적으로 엔트로피 증가의 분포를 살펴보기 위해, [그림 3]의 패널 A는 각 표본 내 기간의 설정 기준에 따라 산출된 엔트로피 증가의 시계열 그래프를 보여준다. 엔트로피의 증가는 전체 기간에 걸쳐 평균적으로는 두드러지지 않지만 일부 시점에 특히 급격하게 치솟는 양상을 보이는데, 해당 시점은 2008-2009년 글로벌 금융위기, 2011년 유럽 재정위기 및 2020년 코로나19 팬데믹 초기 등 시장이 급락했던 시기와 일치한다. 이러한 결과를 통해 자산 가격이 폭락하는 시기에 기대수익률에 대한 모형간 불일치가 더욱 심화된다는 것을 알 수 있으며, 따라서 시장 급락기일수록 특히 모형의 불확실성을 고려하는 것이 더욱 중요하다는 점을 확인할 수 있다. 이는 5장의 분석에서 모형의 불확실성을 고려하는 BMA 통합 모형 하에서 포트폴리오의 하방위험이 낮아지는 결과와도 일관성을 가진다.

<표 8>

모형간 불일치와 엔트로피 증가

이 표는 모형간 불일치로 인한 엔트로피 증가를 분석한 결과를 나타낸다. 패널 A는 식 (18)과 같이 계산된 EIt의 평균, 95번째 및 99번째 백분위수, 최대값을 보고한다. 표본 내 결과는 표본 내 기간을 각각 전체 기간(T), 1/2 기간(T/2), 2/3 기간(2T/3)으로 설정했을 때의 추정치로부터 계산된 결과이며, 표본 외 결과는 나머지 표본 외 기간의 추정치에 대한 결과이다. 사전 샤프비율 배수는 τ = 1.5로 가정한다. 패널 B와 C는 개별 요인 포트폴리오의 엔트로피 증가에 대한 기여도를 식 (20)의 REI_k,t 와 같이 측정하여 그 평균과 최대값을 각각 보고한다.

	T	T/2		2T/3

	표본 내	표본 내	표본 외	표본 내	표본 외
A. 엔트로피 증가
평균	1.005	1.012	1.023	1.011	1.014
95번째 백분위수	1.006	1.015	1.040	1.012	1.018
99번째 백분위수	1.012	1.024	1.044	1.017	1.021
최대값	1.031	1.054	1.051	1.040	1.025

B. 엔트로피 증가에 대한 요인별 평균 기여도
MKT	2.033	2.010	8.470	1.549	4.006
SMB	10.755	8.975	9.104	18.254	17.259
HML	8.324	21.209	12.909	11.184	10.235
RMW	4.498	3.868	5.386	3.261	4.796
CMA	16.619	6.983	5.706	13.980	12.621
MOM	2.319	4.466	3.586	3.196	3.322
OCF	5.043	2.591	1.749	4.902	3.848
RESFF3	3.051	6.647	5.283	5.850	5.014
QMJ	6.077	3.606	8.744	3.608	5.212
BAB	5.266	2.596	4.280	3.521	3.320
MGMT	13.838	25.450	12.423	18.870	13.907
PERF	4.390	4.501	8.832	4.593	5.967
COP	7.871	3.739	8.228	3.473	5.850
ICR	9.916	3.359	5.300	3.759	4.642

C. 엔트로피 증가에 대한 요인별 최대 기여도
MKT	7.130	4.284	12.650	4.881	7.201
SMB	13.466	12.865	10.535	23.023	21.674
HML	10.554	25.377	20.554	14.081	11.628
RMW	5.752	6.718	7.291	5.673	6.137
CMA	24.055	10.215	9.263	16.967	15.335
MOM	17.906	20.072	6.954	19.308	12.081
OCF	10.221	6.848	2.876	7.771	5.525
RESFF3	4.022	8.495	6.622	7.152	6.553
QMJ	8.715	5.993	11.614	5.559	6.944
BAB	10.461	9.024	6.758	6.997	5.786
MGMT	17.179	31.506	27.075	22.361	19.136
PERF	11.562	9.509	11.134	9.232	8.615
COP	10.872	7.358	10.830	5.909	8.221
ICR	12.730	6.232	9.015	5.657	9.253

이제 모든 요인 포트폴리오를 포함하는 투자기회 집합으로부터 산출된 엔트로피 증가의 총량 대신, 개별 요인이 각각 엔트로피 증가에 얼마나 기여하는지 측정해본다. 이를 위해, 모형간 불일치를 나타내는 행렬 Ω_t의 비대각 원소는 모두 제거하고, k번째 대각 원소만을 포함하도록 하는 새로운 행렬 Ω_k,t를 정의한다. 이제 각 k=1,2, … , K에 대하여, 식 (19)와 같이 요인 k에 의한 엔트로피의 증가를 측정한다.

(19)

EIk,t=|Vt+Ωk,t||Vt|

그런데 개별 요인에 의한 EI_k,t역시 EI_t와 마찬가지로 평상시에는 그 값이 1에서 크게 벗어나지 않으나 때때로 급격히 증가하는 움직임을 나타내므로, 이처럼 치우친 분포를 고려하여 EI_k,t의 값을 로그 척도로 환산한 뒤 다음의 식 (20)과 같이 개별 요인의 엔트로피 증가에 대한 상대적 기여도를 측정한다.

(20)

REIk,t=log(EIk,t)log(EIt)∑j=1klog(EIj,t)log(EIt)

<표 8>의 패널 B는 각 요인에 대한 REI_k,t의 평균값을 나타낸다. 전체 표본 기간에서 CMA 요인의 엔트로피 증가에 대한 평균 기여도가 16.619%로 가장 높으며 이어서 MGMT 요인이 13.838%, SMB 요인이 10.755%의 평균 기여도를 가져, 이들 상위 세 개 요인이 전체 엔트로피 증가의 약 41% 정도를 설명한다. 표본 내 기간이 2T/3로 설정된 경우 표본 외 기간에서도 동일한 세 개 요인이 가장 높은 평균 기여도를 가지는데, SMB (17.259%), MGMT (13.907%), CMA (12.621%) 요인이 전체 엔트로피 증가에 대해 약 44% 기여한다. 패널 C에서는 각 요인별 REI_k,t의 최대값을 나타낸다. 패널 B의 결과와 비교할 때, 엔트로피 증가에 대한 평균 기여도에 비해 최대 기여도가 가장 크게 증가하는 요인은 MOM 요인과 MGMT 요인이다. 표본 내 기간을 T/2로 설정한 경우 표본 외 기간의 최대 기여도가 평균 대비 가장 크게 증가한 요인은 MGMT로, 평균 기여도(12.423%) 대비 2배 이상의 최대 기여도(27.075%)를 가진다. 그 외의 모든 표본 내 및 표본 외 기간에서는 MOM 요인이 평균 대비 작게는 3.6배에서 크게는 7.7배까지 높은 최대 기여도를 보인다. 개별 요인의 엔트로피 증가에 대한 상대 기여도 REI_k,t의 시계열 그림을 [그림 3]의 패널 B에서 확인할 수 있다.

[그림 3]

모형간 불일치: 엔트로피 증가의 시계열

이 그림은 BMA 통합 모형의 공분산 행렬에 대한 모형간 불일치 요소의 기여도의 시간에 따른 변화를 나타낸 것이다. 사전 샤프비율 배수는 τ = 1.5로 가정하며, 표본 내 기간은 전체 기간(T), 1/2 기간(T/2), 2/3 기간(2T/3) 중 하나로 설정한다. 패널 A는 식 (18)과 같이 계산된 EI_t의 시계열 그림이다. 패널 B는 개별 요인 포트폴리오의 엔트로피 증가에 대한 기여도를 식 (20)의 REI_k,t와 같이 측정하고 그 시계열 그림을 나타낸다. 파란색 점선으로 나타낸 수직선은 표본 내 기간인 T/2 및 2T/3의 종료 시점을 표시한다.

6.3 평가오류, 요인부하량 및 위험 프리미엄의 모형간 차이

이 절에서는 요인 모형의 평가오류, 요인부하량 및 위험 프리미엄이 각각 시간에 따른 모형간 불일치에 어떤 영향을 미치는지 분석한다. 식 (2)와 (3)을 결합하면, 각 요인 모형이 예측하는 기대수익률은 다음과 같은 형태로 주어진다.

(21)

E[rt+1+Ml,D]=α0,l+α1,lzt+β0,l(αf,l+αF,lzt)+β1,l(Ik⊗Zt)(αf,l+αF,lzt)

따라서, 기대수익률은 다음의 7개의 구성요소에 의해 결정된다: (i) 고정적인 평가오류 (α₀), (ii) 시가변적인 평가오류 (α₁z_t), (iii) 고정 위험 프리미엄에 대한 고정 요인부하량 (β₀ α_f), (iv) 시가변적인 위험 프리미엄에 대한 고정 요인부하량 (β₀α_Fz_t), (v) 고정 위험 프리미엄에 대한 시가변적 요인부하량 (β₁(I_K ⊗z_t)α_f), (vi) 시가변적 위험 프리미엄에 대한 시가변적 요인부하량 (β₁(I_K⊗z_t)α_Fz_t), 그리고 (vii) 시가변적인 위험 프리미엄 (α_Fz_t)이다.

총 14개의 가격결정 요인에 대해, 사후확률이 0보다 큰 후보 모형들 간의 위 7개의 기대수익률 구성요소의 표준편차를 계산한다. 예를 들어, 요인 k에 대하여 고정적인 평가오류 α₀에 대한 모형간 불일치는 다음과 같이 계산할 수 있다.

(22)

σ(α0)k,t=∑l=1LPl(α0,k,l,t−α0,k,t)2

여기서 α_0,k,l,t는 모형 l에서 요인 k에 대한 고정 평가오류를, P_l은 모형 l의 사후확률을, α0,k,t=∑l=1LPl×α0,k,l,t는 요인 k에 대한 모형별 고정 평가오류의 평균을 나타낸다. 다른 6개의 기대수익률 구성요소들에 대해서도 마찬가지 방식으로 후보 모형들 간의 표준편차를 계산하여 해당 구성요소에 대한 모형간 불일치 정도를 측정한다.

<표 9>는 기대수익률 구성요소들에 대한 모형간 불일치의 측정 결과를 나타내며, 패널 A와 B는 각각 개별 요인에 대해 모형간 불일치 측정치의 평균 및 최대값을 보고한다. 모형간 불일치에 대한 측정치는 모든 요인에 대해 비대칭적인 양상을 보인다. 표본 외 기간에 대해 살펴보면, 모든 요인에 대해 모형간 불일치의 최대값은 평균 대비 작게는 1.58배에서 크게는 5.19배에 이른다. 예를 들어 시가변적 위험 프리미엄에 대한 시가변적 요인부하량(β₁(I_K ⊗z_t)α_Fz_t)에 대한 모형간 불일치를 나타내는 최대 표준편차는 평균에 비해 요인별로 평균 3.73배 더 크며, 시가변적인 평가오류(α₁z_t)에 대한 최대 표준편차는 평균 대비 요인별로 평균 3.46배 더 크다. [그림 4]는 시가변적인 기대수익률 구성요소들에 대한 모형간 불일치 측정치의 시계열을 개별 요인별로 나타낸 것이다. 대부분의 요인에 대해, 모든 구성요소들이 2008-2009년 글로벌 금융위기, 2011년 유럽 재정위기 및 2020년 코로나19 팬데믹 초기 등 시장이 급락했던 시기에 급격히 치솟는 양상을 관찰할 수 있다. 즉, 시장이 폭락하는 시기에 평가오류, 요인부하량 및 위험 프리미엄의 예측에 대한 모형간 불일치 정도가 크게 증가한다는 것을 알 수 있으며, 6.2절에서 모형간 불일치 정도를 엔트로피 증가로 측정했을 때의 결과와 부합한다.

<표 9>

평가오류, 요인부하량 및 위험 프리미엄에 대한 모형간 불일치

이 표는 고정적인 평가오류 (α₀), 고정 위험 프리미엄에 대한 고정 요인부하량 (β₀α_f), 시가변적인 평가오류 (α₁z_t), 시가변적인 위험 프리미엄에 대한 고정 요인부하량 (β₀α_Fz_t), 고정 위험 프리미엄에 대한 시가변적 요인부하량 (β₁(I_K⊗z_t)α_f), 시가변적 위험 프리미엄에 대한 시가변적 요인부하량 (β₁(I_K⊗z_t)α_Fz_t) 및 시가변적인 위험 프리미엄 (α_Fz_t)에 대한 표본 내 및 표본 외 모형간 불일치를 나타낸다. 각 모수에 대한 모형간 불일치는 모형별 사후확률을 가중치로 하여 모든 후보 모형에 대한 해당 모수의 표준편차로 계산한다. 패널 A와 B는 각각 개별 요인에 대한 모형간 불일치 측정치의 평균과 최대값을 보고한다. 표본 내 기간은 전체의 2/3 기간(2T/3)으로 설정하며, 사전 샤프비율 배수는 τ = 1.5로 가정한다.

	σ (α₀) 표본 내	σ (β₀α_f) 표본 내	σ (α₁z_t)		σ (β₀α_Fz_t)		σ (β₁(I⊗z_t)α_f)		σ (β₁(I⊗z_t)α_Fz_t)		σ (α_Fz_t)

			표본 내	표본 외	표본 내	표본 외	표본 내	표본 외	표본 내	표본 외	표본 내	표본 외
A. 모형간 불일치의 평균
MKT	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.072	0.148
SMB	0.027	0.054	0.060	0.091	0.023	0.046	0.038	0.060	0.005	0.011	0.044	0.081
HML	0.027	0.115	0.058	0.098	0.039	0.067	0.038	0.085	0.006	0.017	0.048	0.098
RMW	0.017	0.057	0.044	0.067	0.034	0.066	0.028	0.042	0.003	0.010	0.038	0.079
CMA	0.022	0.052	0.046	0.072	0.016	0.027	0.031	0.053	0.004	0.011	0.036	0.079
MOM	0.022	0.076	0.059	0.094	0.045	0.074	0.039	0.090	0.005	0.018	0.065	0.114
OCF	0.027	0.041	0.049	0.100	0.013	0.022	0.027	0.047	0.004	0.012	0.026	0.048
RESFF3	0.027	0.098	0.047	0.075	0.030	0.048	0.028	0.044	0.004	0.011	0.033	0.065
QMJ	0.016	0.054	0.045	0.076	0.046	0.092	0.027	0.046	0.003	0.008	0.049	0.095
BAB	0.038	0.064	0.079	0.117	0.049	0.101	0.047	0.075	0.006	0.017	0.062	0.111
MGMT	0.023	0.044	0.045	0.076	0.016	0.030	0.030	0.052	0.004	0.011	0.027	0.067
PERF	0.015	0.061	0.038	0.062	0.046	0.087	0.023	0.041	0.003	0.008	0.049	0.091
COP	0.019	0.057	0.048	0.074	0.037	0.075	0.030	0.055	0.003	0.010	0.053	0.119
ICR	0.084	0.085	0.163	0.258	0.070	0.126	0.096	0.160	0.011	0.035	0.175	0.285

B. 모형간 불일치의 최대값
MKT	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.207	0.237
SMB	0.027	0.054	0.552	0.318	0.117	0.090	0.406	0.235	0.127	0.057	0.087	0.136
HML	0.027	0.115	0.541	0.318	0.291	0.195	0.295	0.175	0.133	0.071	0.101	0.185
RMW	0.017	0.057	0.438	0.264	0.081	0.110	0.280	0.159	0.072	0.030	0.076	0.150
CMA	0.022	0.052	0.424	0.265	0.101	0.065	0.223	0.141	0.074	0.040	0.253	0.159
MOM	0.022	0.076	0.545	0.359	0.295	0.180	0.293	0.190	0.073	0.045	0.612	0.355
OCF	0.027	0.041	0.341	0.239	0.072	0.048	0.237	0.136	0.095	0.033	0.219	0.124
RESFF3	0.027	0.098	0.443	0.270	0.298	0.174	0.195	0.114	0.097	0.049	0.174	0.115
QMJ	0.016	0.054	0.388	0.239	0.130	0.149	0.220	0.134	0.056	0.029	0.094	0.164
BAB	0.038	0.064	0.786	0.487	0.204	0.168	0.460	0.268	0.164	0.078	0.371	0.237
MGMT	0.023	0.044	0.467	0.263	0.100	0.070	0.204	0.127	0.064	0.044	0.140	0.130
PERF	0.015	0.061	0.331	0.185	0.219	0.160	0.164	0.109	0.051	0.030	0.300	0.203
COP	0.019	0.057	0.388	0.238	0.111	0.121	0.205	0.135	0.046	0.028	0.099	0.188
ICR	0.084	0.085	1.544	0.979	0.315	0.229	0.997	0.567	0.266	0.140	0.508	0.541

[그림 4]

평가오류, 요인부하량 및 위험 프리미엄에 대한 모형간 불일치의 시계열 변화

이 그림은 개별 요인 포트폴리오에 대해 시가변적인 평가오류 (α₁z_t), 시가변적인 위험 프리미엄에 대한 고정 요인부하량 (β₀α_Fz_t), 고정 위험 프리미엄에 대한 시가변적 요인부하량 (β₁(I_K⊗z_t)α_f), 시가변적 위험 프리미엄에 대한 시가변적 요인부하량 (β₁(I_K⊗z_t)α_Fz_t) 및 시가변적인 위험 프리미엄 (α_Fz_t)에 대한 모형간 불일치 측정치의 시계열을 나타낸다. 표본 내 기간은 전체의 2/3 기간(2T/3)으로 설정하며, 사전 샤프비율 배수는 τ = 1.5로 가정한다. 파란색 점선으로 나타낸 수직선은 표본 내 기간인 2T/3의 종료 시점을 표시한다.

6.4 포트폴리오 선택 및 성과의 모형간 차이

이 절에서는 개별 요인 모형들이 포트폴리오 선택 및 성과에 있어서 어떤 차이를 나타내는지 분석한다. 개별 요인 k에 대해서, 사후확률이 0보다 큰 후보 모형들 간의 포트폴리오 선택의 편차를 다음과 같이 계산한다.

(23)

σ(ω)k,t=∑l=1LPl(ωk,l,t−ωk,t)2

여기서 P_l은 모형 l의 사후확률을, w_k,l,t는 모형 l의 접점 포트폴리오가 요인 k에 투자하는 가중치를, wk,t=∑l=1LPl×wk,l,t는 요인 k에 대한 모든 후보 모형의 접점 포트폴리오 투자 가중치의 평균을 나타낸다. 이와 마찬가지로, 모형별 접접 포트폴리오의 성과에 대한 후보 모형들 간의 편차를 다음과 같이 측정한다.

(24)

σ(r)t+1=∑l=1LPl(rl,t+1−rt+1)2

이때 rl,t+1=∑k=1Kwk,l,t×fk,t+1은 모형 l의 접점 포트폴리오의 t + 1 시점 실현 수익률을, rt+1=∑l=1LPl×rl,t+1는 각 모형별 접점 포트폴리오 실현 수익률의 평균을 나타낸다.

<표 10>은 접점 포트폴리오의 요인별 투자 가중치 및 실현 수익률의 모형간 편차를 나타낸다. 패널 A는 식 (23)과 같이 계산된 시계열의 평균, 95번째 및 99번째 백분위수, 최대값을 보여준다. 표본 외 기간의 결과를 중심으로 살펴보면, 접점 포트폴리오 가중치의 모형별 편차의 평균은 요인별로 0.01에서 0.09 사이에 존재하며 모형별 편차의 최대값은 0.03에서 0.10 사이에 존재한다. 접점 포트폴리오 가중치에 대한 모형별 편차의 시계열을 [그림 5]를 통해 확인할 수 있는데, 표본 외 기간 중 CMA 및 PERF 요인을 제외한 대부분의 요인에 대한 가중치가 2020년 코로나19 팬데믹 초기에 급격히 커지는 것을 알 수 있다. 포트폴리오 선택에 대한 모형간 불일치 또한 시장 급락기에 더욱 확대되는 것으로 볼 수 있다. <표 10>의 패널 B는 식 (24)와 같이 계산된 접점 포트폴리오 수익률에 대한 모형간 편차의 시계열 통계량을 나타낸다. 결과를 통해 각 모형을 바탕으로 하는 최적 포트폴리오의 투자 성과에 대해서도 상당한 정도의 모형간 불일치가 있음을 알 수 있다.

<표 10>

포트폴리오 선택 및 성과에 대한 모형간 불일치

이 표는 개별 요인 포트폴리오에 대한 접점 포트폴리오 가중치의 모형간 편차의 표본 내 및 표본 외 기간 측정치를 나타낸다. 패널 A는 모형별 접점 포트폴리오 가중치의 표준편차를 각 모형별 사후확률을 이용해 계산한 결과이다. 접점 포트폴리오 표준편차 시계열의 평균, 95번째 백분위수, 99번째 백분위수 및 최대값을 보고한다. 표본 내 기간은 전체의 2/3 기간(2T/3)으로 설정하며, 사전 샤프비율 배수는 τ = 1.5로 가정한다. 패널 B는 접점 포트폴리오의 실현 수익률의 모형간 표준편차를 계산한 뒤, 이 시계열의 평균, 95번째 백분위수, 99번째 백분위수 및 최대값을 보고한다.

	표본 내				표본 외

	평균	95분위	99분위	최대값	평균	95분위	99분위	최대값
A. 접점 포트폴리오 가중치의 불일치
MKT	0.034	0.041	0.042	0.043	0.023	0.027	0.035	0.040
SMB	0.047	0.057	0.061	0.061	0.047	0.053	0.061	0.065
HML	0.069	0.084	0.090	0.092	0.039	0.043	0.055	0.083
RMW	0.027	0.035	0.037	0.038	0.044	0.051	0.058	0.073
CMA	0.030	0.037	0.038	0.039	0.043	0.048	0.049	0.049
MOM	0.028	0.036	0.038	0.038	0.055	0.058	0.070	0.097
OCF	0.081	0.096	0.098	0.099	0.033	0.037	0.071	0.096
RESFF3	0.079	0.093	0.097	0.098	0.038	0.041	0.082	0.093
QMJ	0.032	0.044	0.049	0.049	0.056	0.062	0.069	0.082
BAB	0.011	0.015	0.016	0.016	0.028	0.031	0.032	0.032
MGMT	0.082	0.101	0.103	0.103	0.058	0.063	0.080	0.102
PERF	0.044	0.062	0.070	0.071	0.090	0.097	0.100	0.100
COP	0.024	0.031	0.032	0.033	0.037	0.044	0.049	0.061
ICR	0.028	0.036	0.036	0.037	0.012	0.013	0.023	0.035

B. 접점 포트폴리오 수익률의 불일치
수익률	0.563	1.386	2.174	2.534	0.398	0.704	0.752	0.763

[그림 5]

포트폴리오 선택에 대한 모형간 불일치의 시계열 변화

이 그림은 개별 요인 포트폴리오에 대한 접점 포트폴리오 가중치의 모형간 편차의 시계열을 나타낸다. 표본 내 기간은 전체의 2/3 기간(2T/3)으로 설정하며, 사전 샤프비율 배수는 τ = 1.5로 가정한다. 파란색 점선으로 나타낸 수직선은 표본 내 기간인 2T/3의 종료 시점을 표시한다.

7. 결론

본 연구는 ACMV의 최근 연구에서 다룬 베이지안 모형 평균 방법을 한국 주식시장 자료에 적용하여 한국 시장에서의 모형 불확실성을 고려한 BMA 통합 모형을 도출한다. BMA 통합 요인 모형은 방대한 수의 후보 요인 모형들을 베이지안 사후확률을 이용하여 결합한 형태로 기대수익률 및 공분산 행렬을 추정하므로, 그 과정에서 모형의 불확실성을 명시적으로 고려한다. 구체적으로 2004년부터 2022년까지의 한국 주식시장 자료를 바탕으로 대표적 가격결정 요인 14개와 거시 예측변수 10개를 선택하여 조합한 결과, 총 10,485,760개의 후보 요인 모형을 생성한다. 이처럼 방대한 수의 후보 모형들 가운데 특별히 높은 사후확률이 두드러지는 승자 모형이 명확하지 않으며, 이를 통해 한국 주식시장에서 특히 모형의 불확실성이 매우 크다는 점을 알 수 있다. BMA 통합 모형의 접점 포트폴리오는 벤치마크 모형들에 비해 높은 표본 외 샤프비율과 낮은 표본 외 하방위험을 가진다. 또한 BMA 통합 모형에서 모형의 불확실성을 고려한 것이 공분산 행렬의 추정 결과에 상당한 영향을 미치며, 따라서 모형 불확실성을 고려할 때 베이지안 투자자들이 인식하는 주식의 위험은 역사적 변동성보다 훨씬 높을 것으로 보인다. 마지막으로 시장이 급락하는 시기에 평가오류, 요인부하량 및 위험 프리미엄 등 기대수익률의 구성요소들의 예측에 대한 모형간 불일치가 특히 심화된다.

Notes

1) 표본 외 검증 및 재현 연구의 예로는 Mclean and Pontiff (2016), Linnainmaa and Roberts (2018), Hou, Xue, and Zhang(2020) 등이 대표적이다. 다중 가설검정(multiple hypothesis testing) 및 p-해킹과 관련된 연구로는 Harvey, Liu, and Zhu (2016), Harvey (2017), Chordia, Goyal, and Saretto (2020), Harvey and Liu (2020), Giglio, Liao, and Xiu (2021) 등이 있다.

2) 차원 축소 및 모형 선택을 위해 새로운 통계적 기법을 적용하거나 제안한 연구로 Kelly, Pruitt, and Su (2019), Feng, Giglio, and Xiu (2020), Freyberger, Neuhierl, and Weber (2020), Lettau and Pelger (2020), Kelly, Malamud, and Pedersen (2023) 등을 참고할 수 있다.

3) 한국 주식시장의 요인 동물원 현상을 다룬 연구는 Han, Lee, and Kang (2020)이 거의 유일한데, 이 연구는 일종의 재현 연구에 해당하는 것으로 새로운 통계적 방법론을 적용하거나 가격결정 모형의 선택 문제를 다룬 것은 아니다.

4) ACMV의 결과에서 동일한 사전 샤프비율 배수를 적용한 경우, 총 52,428,800개의 후보 모형 중 사후확률 기준 상위 10개 모형의 누적 사후확률이 약 30% 수준이다. 즉, 본 연구에서 ACMV에 비해 상대적으로 적은 수의 후보 모형을 고려하였음에도 약 30% 수준의 사후확률이 훨씬 많은 수의 후보 모형들에게 할당된다는 것으로, 이는 한국 시장에서 고려된 후보 모형들 간에 뚜렷한 승자 모형 없이 더욱 고른 사후확률을 가지는 것을 의미한다.

5) He et al. (2017)과 ACMV는 중개기관 자본비율에 대한 거래 가능 요인으로 국채전문딜러(primary dealer) 부문의 가치가중 주식 수익률을 사용한 바 있다 (He et al.의 5.5절 및 ACMV의 Table IA.I 참고). 이 방식을 따라, 표본 기간 동안 금융기관별 국고채전문딜러 지정 이력에 관한 정보를 직접 수집하여 월별 국고채전문딜러들의 가치가중 보통주 수익률을 계산하고, 여기서 무위험 수익률을 뺀 초과 수익률을 ICR 요인으로 정의한다.

6) 이상의 10개 변수 외에도 ACMV는 배당성향(dividend payout ratio; de), 순주식발행(net equity expansion; ntis), 장기채권보유기간수익률(long term rate of returns; ltr)을 포함하여 총 13개의 거시 예측변수를 선택하였다. 우리는 현실적으로 감당할 수 있는 계산 소요시간 등을 고려하여 거시 예측변수의 개수가 10개를 넘지 않도록 제한하고, ACMV의 총 13개 거시 변수 가운데 이용 가능한 자료가 부족한 ntis와 ltr을 우선적으로 제외하고, 다음으로 de 변수가 dp, ep와 선형종속 관계이므로 투자기회 집합의 변화를 예측할 수 있는 독립된 정보를 가질 가능성이 상대적으로 낮을 것으로 판단하여 추가로 제외한다.

References

1. Asness, C. S., A. Frazzini, and L. H. Pedersen, 2019, Quality minus junk, Review of Accounting Studies, Vol. 24 (1), pp. 34-112.

2. Avramov, D., S. Cheng, L. Metzker, and S. Voigt, 2023, Integrating factor models, Journal of Finance, Vol. 78, pp. 1593-1646.

3. Ball, R., J. Gerakos, J. T. Linnainmaa, and V. Nikolaev, 2016, Accruals, cash flows, and operating profitability in the cross section of stock returns, Journal of Financial Economics, Vol. 121 (1), pp. 28-45.

4. Barillas, F., and J. Shanken, 2018, Comparing asset pricing models, Journal of Finance, Vol. 73, pp. 715-754.

5. Blitz, D., J. Huij, and M. Martens, 2011, Residual momentum, Journal of Empirical Finance, Vol. 18 (3), pp. 506-521.

6. Bouchaud, J-P., P. Krüger, A. Landier, and D. Thesmar, 2019, Sticky expectations and the profitability anomaly, Journal of Finance, Vol. 74 (2), pp. 639-674.

7. Chordia, T., A. Goyal, and A. Saretto, 2020, Anomalies and false rejections, Review of Financial Studies, Vol. 33, pp. 2134-2179.

8. Cochrane, J. H., 2011, Presidential address:Discount rates, Journal of Finance, Vol. 66, pp. 1047-1108.

9. Fama, E. F., and K. R. French, 1993, Common risk factors in the returns on stocks and bonds, Journal of Financial Economics, Vol. 33 (1), pp. 3-56.

10. Fama, E. F., and K. R. French, 2015, A five-factor asset pricing model, Journal of Financial Economics, Vol. 116 (1), pp. 1-22.

11. Fama, E. F., and K. R. French, 2018, Choosing factors, Journal of Financial Economics, Vol. 128, pp. 234-252.

12. Feng, G., S. Giglio, and D. Xiu, 2020, Taming the factor zoo:A test of new factors, Journal of Finance, Vol. 75, pp. 1327-1370.

13. Frazzini, A., and L. H. Pedersen, 2014, Betting against beta, Journal of Financial Economics, Vol. 111 (1), pp. 1-25.

14. Frazzini, A., D. Kabiller, and L. H. Pedersen, 2018, Buffett's alpha, Financial Analysts Journal, Vol. 74 (4), pp. 35-55.

15. Freyberger, J., A. Neuhierl, and M. Weber, 2020, Dissecting characteristics nonparametrically, Review of Financial Studies, Vol. 33, pp. 2326-2377.

16. Gibbons, M. R., S. A. Ross, and J. Shanken, 1989, A test of the efficiency of a given portfolio, Econometrica, Vol. 57 (5), pp. 1121-1152.

17. Giglio, S., Y. Liao, and D. Xiu, 2021, Thousands of alpha tests, Review of Financial Studies, Vol. 34, pp. 3456-3496.

18. Han, M., D. H. Lee, and H. G. Kang, 2020, Market anomalies in the Korean stock market, Journal of Derivatives and Quantitative Studies, Vol. 28 (2), pp. 3-50.

19. Harvey, C. R., 2017, Presidential address:The scientific outlook in financial economics, Journal of Finance, Vol. 72, pp. 1399-1440.

20. Harvey, C. R., and Y. Liu, 2020, False (and missed) discoveries in financial economics, Journal of Finance, Vol. 75, pp. 2503-2553.

21. Harvey, C. R., Y. Liu, and H. Zhu, 2016, …and the cross-section of expected returns, Review of Financial Studies, Vol. 29, pp. 5-68.

22. He, Z., B. Kelly, and A. Manela, 2017, Intermediary asset pricing:New evidence from many asset classes, Journal of Financial Economics, Vol. 126 (1), pp. 1-35.

23. Hou, K., C. Xue, and L. Zhang, 2020, Replicating anomalies, Review of Financial Studies, Vol. 33, pp. 2019-2133.

24. Kelly, B. T., S. Pruitt, and Y. Su, 2019, Characteristics are covariances:A unified model of risk and return, Journal of Financial Economics, Vol. 134, pp. 501-524.

25. Kelly, B., S. Malamud, and L. H. Pedersen, 2023, Principal portfolios, Journal of Finance, Vol. 78, pp. 347-387.

26. Lettau, M., and M. Pelger, 2020, Factors that fit the time series and cross-section of stock returns, Review of Financial Studies, Vol. 33, pp. 2274-2325.

27. Linnainmaa, J. T., and M. R. Roberts, 2018, The history of the cross-section of stock returns, Review of Financial Studies, Vol. 31, pp. 2606-2649.

28. McLean, R. D., and J. Pontiff, 2016, Does academic research destroy stock return predictability?, Journal of Finance, Vol. 71, pp. 5-31.

29. Stambaugh, R. F., and Y. Yuan, 2017, Mispricing factors, Review of Financial Studies, Vol. 30 (4), pp. 1270-1315.

30. Van Nieuwerburgh, S., and L. Veldkamp, 2010, Information acquisition and under-diversification, Review of Economic Studies, Vol. 77 (2), pp. 779-805.

31. Welch, I., and A. Goyal, 2008, A comprehensive look at the empirical performance of equity premium prediction, Review of Financial Studies, Vol. 21 (4), pp. 1455-1508.