1. 서론
2022년 수행된 질병관리청의 지역사회건강조사 결과에 따르면 COVID-19의 유행으로 인해 당뇨, 고혈압과 같은 만성질환의 진단률이 증가하였으며, 우울감이 증가하는 등 국민 정신건강 수준을 나타내는 지표도 악화되었다. Kim(2022)의 연구는 COVID-19의 유행으로 인해 남성에서 비만, 고혈압, 고콜레스테롤혈증의 유병률이 증가하였으며 고위험음주율 역시 증가하였음을 지적하고 있다. 또한 장기후유증으로 인해 미래 건강이 악화될 수 있음을 지적하고 있다. 이에 따라 장기적으로 질병유병률의 증가가 보험의 구입이나 위험자산의 투자와 같은 개인의 의사결정에 어떠한 영향을 미치는 지에 대한 관심이 증가하고 있다. Bloom et al.(2012)은 2009년 총 의료 비용이 약 5조 1,000억 달러였던 반면 2010년에는 정신 건강 문제로 인한 전 세계 부담만 약 2조 5,000억 달러에 달할 것으로 추정한 바 있다. 우리나라 역시 최근 몇 년간 정신 건강 문제로 인한 사망 및 장애 사례가 지속적으로 증가하고 있으며, 보건복지부는 코로나19 장기화 등으로 정신건강 문제에 대한 사회적 관심과 중요성이 증가함에 따라, ‘온 국민 마음건강 종합대책(제2차 정신건강복지기본계획)’(관계부처 합동, 2021.1.14. 발표)을 수립하고 정신건강 분야에 대한 투자를 확대하고 있는 중이다. 특히 이러한 투자 계획은 2021년에서 2025년에 이르는 향후 5년간 총 2조원 규모의 재정을 투입하는 안을 포함하고 있는 등 건강의 변화가 정부차원에서도 중요한 요인으로 주목받고 있다.
최근 IPCC(Intergovernmental Panel on Climate Change)는 기후위기로 인한 기온의 상승은 COVID-19외에도 더 많은 감염병의 창발을 가져올 수 있다는 예측을 제시하고 있으며,1) 기후변화에 따라 지역적 집중강우가 발생하고 이는 수자원 부족과 오염이 심화되어 수인성 감염병의 증가가 예측되기도 한다. Microinsurance Network 역시 기후위기로 인해 개발도상국 에서 건강보험금의 지급이 증가하였다고 발표한 바 있다. WHO는 폭염으로 인해 온열질환의 잦은 발생을 경고하고 있으며, 40도가 넘는 여름더위는 일상이 될 것임을 지적하고 있다. 특히 이는 환경의 변화로 인해 야생동물과의 접점이 증가할 수 있어 신종인수공통감염병의 증가를 가져올 수 있으며, 그 확산이나 피해가 COVID-19 팬데믹 이상이 될 것이라는 우려를 제시하고 있다.
한편 정신 건강을 포함한 건강의 개선 또는 악화의 경우 객관적으로 측정하기 어려운 지표 중의 하나이기도 하며,2) 건강이라는 개인 자산이 화폐적으로 평가 및 대체가 가능한 개인의 자본(capital stock)이 아니므로 금전적 자산이 효용에 미치는 영향과의 상호작용을 고려해야 한다는 지적이 존재한다(Cook and Graham, 1977). 즉 일반적인 자산의 경우 금전으로 대체가능한 성격을 갖는다고 간주되는 데 반해, 건강은 개인의 자본이면서 동시에 금전으로 완전히 대체가능하지 않다는 특징을 갖는다. 이에 따라 건강의 변화는 같은 수준의 금전 소비에 대한 한계효용을 변화시키게 된다. 예를 들어 질병으로 인해 소비의 한계효용이 더 높아진다거나, 금전적 자산이 증가할수록 더 높은 수준의 건강함을 원하게 되는 등이 그 예가 될 수 있다.
현재 그 어느 때보다 불확실한 건강위험에 노출되어 있는 상황에서 본 연구는 건강의 변화가 위험자산의 선택과 보험의 구입이라는 개인의 의사결정에 어떠한 영향을 주는지 이론적으로 살펴보고자 시도한다. 특히 본 연구는 앞서 언급한 바와 같이 금전적 자산으로 인한 개인의 효용뿐만 아니라 건강과 금전적 자산과의 상호작용으로 인한 효용변화, 건강의 수준 변화로 인한 개인의 효용 변화를 함께 고려하여 위험자산에 대한 최적 수요와 보험에 대한 최적 수요가 어떻게 달라지는 지를 살펴본다. 즉 건강을 고려할 경우 위험감수행동(risk taking behavior, portfolio choice)과 위험회피행동(risk avoidance behavior, purchasing insurance)을 살펴보기 위해, 본 연구는 기존의 부(wealth)에 관한 일변량 효용함수(univariate utility)가 아닌 효용의 수준이 부와 건강이라는 두 가지 요인에 의해 효용의 수준이 결정되는 이변량 효용함수(bivariate utility)를 고려한다.
이러한 효용함수를 고려하는 이유는 건강의 변화가 개인의 보험과 위험자산에 대한 선호를 변화시킬 수 있기 때문이다. 개인은 건강손실로 인해 추가적인 1원을 더 소중하게 여기게 될 수도 있고(correlation aversion, 상관회피적), 반대로 추가적인 1원의 가치를 건강손실 이전에 비해 더 낮게 평가하게 될 수도 있다(correlation loving, 상관선호적). 여러 실증연구결과들은 이러한 개인의 선호가 모두 나타나고 있음을 지적하고 있다.
본 연구결과는 다음과 같이 요약된다. 첫째, 이변량 효용함수 하에서 계리적으로 공정한 보험료 하에서도 개인의 보험 수요는 부분보험이 최적일 수 있으며, 반대로 불리한 보험료 하에서도 전부 또는 초과보험이 최적일 수 있다. 둘째, 효용함수가 건강에 대해 교차위험취약성(cross-risk vulnerability toward health)을 만족할 때, 손실과 독립적인 불리한 건강위험의 존재는 보험의 수요를 증가시킨다. 셋째, 이변량 효용함수 하에서 상관선호적인 개인은 개인의 절대상관선호도가 부에 대해 감소하고, 부에서의 절대위험회피도가 충분히 클 때, 건강의 악화는 위험자산에 대한 투자를 감소시킨다. 반면 상관회피적인 개인은 절대상관회피도가 부에 대해 감소하고, 부에서의 절대위험회피도가 충분히 작을 때 건강의 악화로 인해 위험자산에 대한 투자를 감소시킨다. 넷째, 효용함수가 건강에 대해 교차위험취약성을 만족할 때, 수익률과 독립적인 불리한 건강위험의 존재는 위험자산에 대한 수요를 감소시킨다. 이러한 결과들은 미래 불확실한 건강 위험의 존재로 인해 보험에 대한 수요가 항상 증가하거나 위험자산에 대한 투자가 항상 감소하는 것은 아니며, 보험 수요의 증가나 위험자산에 대한 투자가 감소하기 위한 충분조건들을 보여주고 있다.
연구의 순서는 다음과 같다. 다음 장에서는 기존 선행연구를 간단히 살펴보고, 제3장 및 제4장에서는 일변량 효용함수와 이변량 효용함수 하에서 보험과 위험자산의 수요를 살펴보기로 한다. 제5장에서는 연구결과를 요약하고 결론을 제시한다.
2. 선행연구
여러 선행연구들에서도 건강의 변화에 따른 소비의 한계효용 변화를 지적하고 있다. Viscusi and Evans(1990) 및 Finkelstein et al.(2013)은 건강이 악화되는 경우 소비의 한계효용이 높아진다는 점을 발견하고 있다. 반면 Evans and Viscusi(1991)는 건강의 악화와 소비의 한계효용 사이에서 명확한 상관관계를 발견하지 못했음을 기술하고 있으며, Lillard and Weiss(1997), Edwards(2008), Tengstam(2014), Brown et al.(2016), Kools and Knoef(2019), Viscusi(2019), Wang and Wang(2020), Simonsen and Kjær(2021) 등의 연구는 건강의 악화가 오히려 소비의 한계효용을 낮춘다는 점을 지적하고 있다.
이에 따라 최근의 연구들은 기존의 부에 의존하는 일변량 효용함수가 아닌 부와 건강이라는 두 요인에 의존하는 이변량 효용함수를 사용하여 손실 확률을 줄이거나 손실 크기를 줄이는 개인의 투자활동 및 저축의 변화에 초점을 맞추고 있다(Lee, 2005; Courbage and Rey, 2006, 2007; Eeckhoudt, Rey, and Schlesinger, 2007; Menegatti, 2014; Liu and Menegatti, 2019a, 2019b; Hong and Kim, 2021, 2023). 다만 이러한 연구들은 손실이 베르누이 분포를 따르는 간단한 모형을 사용하고 있다는 한계가 존재한다.
본 연구 역시 이러한 선행연구들의 연장선상에서 부와 건강을 동시에 고려하는 이변량 효용함수를 사용하여 최적 보험과 위험자산의 수요를 찾기로 한다. 특히 본 연구는 기존 연구와는 달리 손실이 특정 분포를 따르는, 즉 손실이 각 상태에서 다양한 크기로 발생할 수 있는 상황을 가정하여 최적 보험을 고려하는 특징을 갖고 있다. 이는 Crainich, Eeckhoudt, and Courtois (2017)의 모형과 유사하나, 이들과는 다른 충분조건을 도출하고 있다. 또한 기존 일변량 효용함수에서 보험과 위험자산의 선택은 서로 같은 모형과 맥락에서 설명 가능한 반면, 이변량 효용함수 하에서는 모형 간 어떤 차이가 존재하는 지 비교하고 있다는 차이가 존재한다.
또한 본 연구에서는 Gollier and Pratt(1996)의 위험취약성(risk vulnerability)과 Malevergne and Rey(2009)의 교차위험취약성(cross-risk vulnerability)를 가정할 때 개인의 위험에 대한 선호행태 변화를 살펴보고 있다. 위험취약성에 관한 Gollier and Pratt(1996)의 이론은 거의 실증적으로 테스트되지 않았으나, 실증연구의 대부분은 위험회피도를 측정하기 위해 포트폴리오 자산 할당(portfolio asset allocation) 결정을 지표로 사용하고 있다. 대표적으로 Guiso et al.(1996)은 이탈리아 가구 소득 및 부에 관한 서베이 자료를 사용하여 소득 리스크를 주관적으로 예상되는 미래 실질 소득의 분산으로 정의하고, 개인의 선호가 위험취약성을 만족한다는 것을 보인 바 있다. 또한 미국 데이터(Haliassos and Bertaut, 1995; Frantatoni, 1998), 독일 데이터 (Hochguertel, 2003) 및 호주 데이터(Cardak and Wilkins, 2008)에 대해서도 위험취약성에 관한 선호가 만족된다는 것이 알려져 있다. 한편 Guiso and Paiella(2008)의 연구는 배경위험을 나타내는 거시 경제 지표를 사용하고 위험 회피를 위험을 감수할 의지로 정의하여 이탈리아 가계의 위험회피도 증가와 배경위험의 증가가 서로 연관되어 있음을 발견하여 위험취약성을 지지한 바 있다. 이들의 연구는 직접 테스트하지는 않았으나 위험회피도가 부(wealth)에 관해 볼록성을 만족한다는 결론을 이끌어내고 있다. 개인의 위험회피도가 부에 관해 감소하고, 위험회피도가 부에 관해 볼록성을 만족한다는 것이 위험취약성을 위한 충분조건이라는 것을 고려할 때 이러한 연구들은 전반적으로 위험취약성을 뒷받침하는 결과들이라 볼 수 있다.
교차위험취약성에 관해 실증적으로 살펴본 연구들은 매우 부족하며, 대부분의 연구들이 건강위험과 위험회피도의 관계를 사용하여 접근하고 있다. 대포적으로 Edwards(2008)의 연구에 따르면 의료비 지출 확률이 높은 개인일수록 위험한 포트폴리오 비중을 낮추는 것으로 나타난 바 있다. 이는 의료비 지출 위험이 적은 메디케어 수혜자가 위험한 금융 자산을 보유할 가능성이 더 높다는 Goldman and Maestas(2013)의 연구에서도 확인되고 있다. 유럽 서베이 데이터인 SHARE 데이터를 사용한 Atella et al.(2012)은 위험한 행동과 무증상 질병을 고려한 지수로 측정한 건강 위험은 전 국민 의료보험이 없는 국가에서만 포트폴리오 선택에 영향을 미친다는 것을 보여주고 있다. Courbage et al.(2018)의 연구 역시 SHARE를 통해 금전적 자산에 대한 위험회피성향이 건강과 부의 증가에 대해 각각 감소하는 형태라는 것을 발견했다. 또한 이들은 배경금융위험과 건강위험이 존재할 때 금융자산에 대한 위험회피성향이 각각 증가함을 보여, 개인의 선호가 위험취약성과 교차위험취약성을 만족한다는 것을 보인 바 있다. 이러한 실증연구 결과들을 바탕으로 본 연구에서는 개인의 선호가 위험취약성과 교차위험취약성을 만족한다고 가정하기로 한다.
3. 보험 수요
3.1 벤치마크 모형: 일변량 효용함수 모형
먼저 비교를 위해 잘 알려져 있는 보험 수요에 관한 모형을 간단히 검토해보기로 한다.
이 모형은 건강이 부와 완전 대체가능할 경우 다음과 같이 해석될 수 있다. 건강에 x라는 손실이 발생할 경우 손실회복을 위해 치료비를 사용하게 되는데, 치료비 역시 x이며 이를 통해 건강의 손실을 전부 회복할 수 있고 보험을 통해 이러한 치료비를 보상받을 수 있다고 간주하는 것이다. 이때 위 모형의 1계조건과 2계조건은 다음과 같다.
표기를 간단히 하기 위해 W-Q-x+ax=Wa라 나타내기로 한다. 식 (2)는 공분산식(covariance rule)에 의해 다음과 같이 변형될 수 있다.
식 (3)은 c o v ( u ′ ( W a ) , x − ( 1 + λ ) E x ) = λ E u ′ ( W a ) E ( x ) > 0
식 (4)에서 효용함수의 오목성 가정에 따라 최적보험보호율은 1보다 작아야 한다. 즉 계리적으로 불공정한 보험료(actuarially unfavorable premium) 하에서는 일부보험(a<1, partial insurance)이 최적이라는 잘 알려진 결과가 도출된다. 한편 λ=0인 경우, 즉 계리적으로 공정한 보험료 (actuarially fair premium) 하에서 식 (3)의 값이 0이 되기 위해서는 최적보험보호율은 a=1인 전부보험(full insurance) 이어야 하며, 반면 λ<0으로 보험료가 계리적으로 유리한 경우(actuarially favorable premium) a>1이어야 한다. 다만 현실에서 a>1인 초과보험 (over-insurance)은 법적으로 허용되지 않으므로 이러한 경우는 향후에도 논의에서 배제하기로 한다.
이러한 일반적인 효용함수는 앞서 언급한 바와 같이 모든 개인의 자산을 금전적 자산으로 간주하는 형태이다. 만약 건강도 개인의 금전적 자산으로 간주할 수 있다면 건강의 감소가 보험 수요에 미치는 영향을 다음과 같은 비교정학분석을 통해 살펴볼 수 있다. 비교정학분석 (comparative static analysis)을 위해 식 (2)를 만족하는 최적보험보호율은 a=a*로 나타내기로 한다.
(6)
식 (6)에서 − u ′ ′ ( W a ) u ′ ( W a )
일반적으로 보험경제학에서 가정되는 부(wealth)에 대해 감소하는 절대위험회피성향(decreasing absolute risk aversion in wealth, DARA in wealth)을 본 연구에서도 가정할 경우 식 (7)의 공분산의 첫 번째 항은 손실 x가 증가함에 따라 증가한다. 반면 두 번째 항은 다음과 같이 부분보험으로 인해 손실이 증가함에 따라 감소한다.
즉 많은 실증연구들에서 보험이 정상재(normal good)임을 지적하고 있음에도 불구하고, DARA를 가정하는 경우 식 (6)의 부호는 음수이고 보험은 열등재(inferior good)이 된다. 이는 실증연구와 이론연구사이의 괴리 중 하나로 지적되어 오고 있다. 다만 이러한 결과는 금전적 자산인 부가 아닌 W를 건강과 같은 자본스톡으로 생각할 경우 건강이 나빠질수록 보험수요가 증가한다고 해석이 가능하다.
이제 배경위험(background risk)이 존재하는 경우 보험의 수요를 살펴보기로 한다. 배경위험 이란 손실위험 외 개인의 부와 같은 자산에 불확실성이 존재하는 경우를 의미한다. 예를 들어 실업 등의 요인으로 인해 개인의 소득이 불확실성을 가질 수 있으며, 이때 소득의 불확실성은 배경위험이 된다. 특히 건강이 금전으로 완전히 대체되는 자산이라면 감염병의 발발과 같은 건강에 배경위험이 존재하는 경우로 해석할 수 있다. 논의를 간단히 하기 위해 이러한 배경위험이 손실위험과는 서로 독립이고, 부에 대해 가산성(additivity)을 가진다고 가정하기로 한다. 또한 특정분포를 갖는 불리한 배경위험(unfair background risk) ε에 대해 배경위험의 평균은 음(negative)이라 가정한다. 즉 Eε<0이다. 이때 개인의 효용을 극대화하기 위한 목적함수와 1계조건은3) 다음과 같다.
식 (10)을 만족하는 보험수요를 a = aε으로 표기하기로 한다. 배경위험이 존재하는 경우 보험 보호율의 증감을 살펴보기 위해 다음과 같은 식을 살펴보기로 한다. 이제 v(Wa)=Eεu(Wa+ε) 으로 정의하면 문제 (9)는 다음과 같이 변형된다 .
효용함수 v는 보통 유도된 효용함수(derived utility funtion)로 불리는데, 이때 불리한 배경위험으로 인해 v가 u보다 더 위험회피적인 효용함수가 될 경우 u는 위험취약성(risk vulnerability)을 만족한다(Gollier and Pratt, 1996). 즉 위험취약성 하에서는 불리한 배경위험 으로 인해 개인의 위험회피도는 증가하며 이는 Eε<0에 대해 다음과 같이 표현될 수 있다.
한편 보험보호율 a는 보험 수요로도 해석될 수 있다. 이 경우 Schlesinger(2013)는 더 위험회피적일수록 개인이 더 많은 보험을 구입한다는 것을 보인 바 있다.4) 따라서 효용함수가 위험에 취약할 때, 불리한 배경위험의 존재는 보험보호율, 보험 수요를 증가시키게 된다. 즉 aε > a*이다. 또한 효용함수가 더 위험회피적으로 변하더라도 보험료가 불리하므로 여전히 최적보험보효율은 1보다 작은 부분보험이 최적이다.
특히 개인의 선호에 있어 절대위험회피성향(absolute risk aversion)이 부에 대해 감소하는 경우 (즉 DARA) 효용함수는 위험취약성을 만족한다. 따라서 이러한 결과는 일반적인 보험경제학 문헌에서 DARA의 선호 하에서 부의 증가는 보험수요의 감소를 가져온다는 것과 일관된 내용이라 할 수 있다. 이때의 부를 건강으로 해석할 경우 건강을 감소시키는 불리한 위험의 존재로 인해 보험수요가 증가한다는 것은 직관적으로 받아들이기 쉽다. 반면 금전적 자산을 감소시키는 불리한 위험의 존재로 해석할 경우 일반적으로 더 부유한 사람들이 더 많은 보험을 산다는 실증결과들과는 충돌하는 면이 있다.
위의 결과를 정리하면 다음과 같이 일반적으로 잘 알려진 보험경제학의 결과를 얻을 수 있다.
(결과 1) 일반적인 일변량 효용함수 하에서 보험의 수요는 다음을 만족한다.
3.2 이변량 효용함수 모형
이제 다음과 같은 모형을 살펴보기로 한다. 개인의 효용은 금전적 자산 뿐만 아니라 금전으로 완전히 대체 불가능한 건강과 같은 자산에 의해 결정된다. 즉 효용함수에서 효용의 수준은 금전적 부 W와 건강 H에 의해 결정된다: u(W,H). 이때 개인의 목적함수는 다음과 같다. 한편 논의를 간단히 하기 위해 계리적으로 공정한 보험료를 가정하기로 한다.
식 (10)은 다음과 같이 해석해야 한다. 개인에게 건강손실이 발생하는 경우 보통 보험을 통해 치료비 등을 보상받게 된다. 이때 일변량 효용함수와 유사하게 건강손실 x와 치료비가 완전히 같은 것은 아니나, 건강손실에 비례하여 치료비를 쓰게 되는 것이 일반적인 경우인 것을 감안하여 치료를 통해 건강손실의 일부를 보상받게 되는 형태를 ax로 표현하기로 한다.
이변량 함수에서 개인의 위험에 대한 선호는 일변량 함수에서와 유사하다. 즉 효용함수는 각각 부와 건강에 대해 모두 위험회피적이다. 즉 부 또는 건강의 감소는 효용의 수준을 낮추고 ui > 0,uii < 0,i=1,2이다. 한편 부와 건강에 대한 효용함수의 교차미분항인 u12는 부와 건강의 보완정도(대체정도)를 나타내는데, 이는 부와 건강의 상관성에 대한 선호(preference toward correlation)로 불린다. 이에 따라 u12>0이면 개인은 상관선호적(correlation-loving)이며, 반대로 u12<0이면 상관회피적(correlation-averse)이다. 마지막으로 u12 = 0이면 이러한 선호는 상관중립적(correlation-neutral)이라 불린다. 즉 상관선호적인 개인은 부유할수록 더 건강한 것을 선호하며, 상관회피적인 개인은 가난해질 경우 건강하기라도 한 것을 선호한다는 것을 말한다. 앞서 문헌연구에서도 언급한 바와 같이 개인이 상관성에 대해 어떠한 선호를 나타내는지에 대해서는 실증연구결과들이 엇갈리고 있으며, 일변량 효용함수 하에서의 선호는 상관중립적인 경우라고 해석할 수도 있다. 따라서 본 연구에서는 어떠한 선호가 더 합리적이라는 식의 논의는 배제한다.
식 (12)에 대한 1계조건과 2계조건은 다음과 같다. 단 이때 2계조건의 경우 u12 > 0인 경우 항상 성립하나, u12 < 0인 경우 성립여부가 불확실하다. 다만 본 연구에서는 Eu(W-Q, H-x+ax)가 a에 대해 전역적으로 오목함수임을 가정한다(globally concave in a).
이때 최적 보험보호율은 다음 식을 만족한다.
식 (13’)을 통해 다음의 [정리 1]을 얻을 수 있다.
[정리1] 이변량 효용함수 하에서 최적 보험 수요는 다음을 만족한다.
(1) Eu1 (W-Q,H-x+ax) > Eu2 (W-Q,H-x+ax)이면 부분보험(a < 1) 이 최적이다.
(2) Eu1 (W-Q,H-x+ax) = Eu2 (W-Q,H-x+ax)이면 전부보험(a = 1) 이 최적이다.
(3) Eu1 (W-Q,H-x+ax) < Eu2 (W-Q,H-x+ax)이면 초과보험(a < 1) 이 최적이다.
(증명) 식 (13)에서 공분산항의 부호는 다음식의 부호에 의해 결정된다.
즉 Eu1 (W-Q,H-x+ax)>(=,<) Eu2 (W-Q,H-x+ax)이면 a<(=,>)1임을 보여준다.
[정리 1]은 이변량 효용함수 하에서 계리적으로 공정한 보험료를 가정하더라도 항상 전부보험이 최적은 아니라는 것을 보여준다. 만약 금전적 부의 한 단위 증가로부터 얻는 효용이 건강의 한 단위 증가로부터 얻는 효용보다 크다면, 즉 금전적 부를 건강보다 더 가치있게 여긴다면 보험료를 낮추기 위해 부분보험이 최적이다. 반대로 건강을 금전적 부 보다 더 가치있게 여긴다면 더 많은 보험 구입을 통한 건강의 회복을 넘어 증진을 위해 초과보험이 최적이 되는 것이다. 이러한 연구의 결과는 계리적으로 공정한 보험료 하에서도 항상 최적보험보호율이 1이 아님을 지적하는 Seog and Hong(2018, 2022), Hong(2022) 의 연구결과와 유사하다고 할 수 있다. 그러나 Seog and Hong(2022) 및 Hong(2022)의 연구는 각각 장기모형을 가정하거나 모호성회피성향이라는 추가적인 개인의 선호특성을 가정하고 있다는 차이점을 가진다. 또한 Seog and Hong(2018)의 연구는 배경위험이 아닌 보험금 자체가 불확실성을 가져 개인에게 위험자산처럼 간주된다는 점에서 본 연구와 차이점을 갖는다고 할 수 있다.
이제 건강에 가산가능하고 건강손실과는 독립이며 불리한 배경위험이 존재하는 경우 (Eε1 <0) 보험의 수요를 살펴보기로 한다. 이를 위해 먼저 더 위험회피적인 개인이 더 많은 보험을 구입 하는지의 여부를 먼저 관찰해야 한다. 더 위험회피적인 개인의 이변량 효용함수는 오목한 함수 k(.)에 의해 t(W,H) = k(u(W,H))과 같이 정의될 수 있다. Peter(2020)에 따르면 이러한 변환함수 (transformation function) k는 (W,H)평면에서 개인의 서수적 효용(ordinal preference)를 보존하고, 이에 따라 효용함수 t는 효용함수 u보다 이변량관점에서 더 위험회피적이라고 할 수 있다. 이때 Hong (2023)은 이변량 효용함수 하에서도 더 위험회피적인 개인이 다음의 조건을 만족할 때 더 많은 보험을 구입한다는 것을 보인 바 있다.
조건 (16)에서 우변은 개인의 건강에 대한 절대위험회피도를 가리킨다. 반면 좌변은 만약 개인이 상관회피적일 경우 건강에서 측정한 개인이 부와 건강간의 상관성을 싫어하는 정도, 즉 절대상관회피도(absolute correlation aversion. ACA)이다. 절대위험회피성향과 유사한 개념으로 Crainich, Eeckhoudt, and Courtois(2014, 2017)와 Hong and Kim(2021, 2022)이 정의한 절대상관회피성향(absolute correlation aversion, ACA)은 부와 건강관의 대체정도 (substitutability)를 재는 척도이기도 하다. 주의할 것은 개인이 상관선호적일 경우(즉u12 > 0) 식 (16)은 항상 성립한다는 것이다.
이러한 조건은 Hong and Kim(2021, 2022)에 지적한 바와 같이 일반적으로 손실의 크기를 줄이기 위한 투자와 손실의 발생확률을 줄이기 위한 투자가 건강에 대해 열등재(inferior good)인 조건과 같다. 즉 개인이 상관선호적이거나, 또는 상관회피적이더라도 건강위험을 상관성보다 더 싫어할 경우 건강이 좋을수록 개인은 손실의 크기를 줄이거나 확률을 줄이기 위한 투자를 줄인다는 것이다. 또한 Hong(2023)은 이러한 조건이 만족할 경우 위험회피적인 개인이 더 많은 보험을 구입한다는 것을 지적한 바 있다.
한편 식 (9)와 유사하게 먼저 부에 불확실성이 존재하는 경우의 목적함수와 1계조건은 다음과 같은 형태를 갖는다.5)
개인이 건강에 대한 배경위험의 존재로 인해 보험을 더 적게 살 조건을 도출하기 위해 Malevergne and Rey(2009)의 교차위험취약성(cross-risk vulnerability)를 도입하기로 한다. 위험취약성이 손실과 독립적인 (동시에 금전적인) 배경위험의 존재로 개인이 더 위험회피적으로 행동한다는 아이디어를 제시한 반면 교차위험취약성은 이러한 아이디어를 이변량 효용함수 하에서 손실과 독립적인 (동시에 비금전적인) 배경위험의 존재로 개인이 더 위험회피적으로 행동한다는 것으로 확장한다.
표기를 간단히 하기 위해 W-Q=W1, H-x+ax=H1으로 나타내기로 한다. 이를 이용하여 다음과 같이 이변량 효용함수 v(W1, H1) = Eεu(W1, H1+ε1)로 정의하면, Exv(W1, H1)= ExEεu (W-Q,H+ε1-x+ax)로 나타낼 수 있다. 이때 Eε1 < 0에 대해 교차위험취약성을 만족하는 효용함수 u는 다음을 만족한다.
식 (19)를 만족하는 효용함수는 건강에 대해 cross-DARA를 만족한다. 이때 Malevergne and Rey(2009)에 따르면 건강에 대한 cross-DARA 선호는 건강이 증가할수록 개인의 부에 대한 위험회피성향이 증가한다는 것을 가리킨다. 이 경우 개인은 건강에 대한 불확실성이 존재할 경우 더 많은 보험을 구입하게 된다.
이는 다음의 [정리 2]로 요약된다.
[정리 2] 효용함수가 건강에 대한 교차위험에 취약할 때, 손실과 독립적인 불리한 건강위험의 존재는 보험의 수요를 증가시킨다.
(증명) 본문 참고.
마지막으로 건강의 감소가 보험 수요에 어떠한 영향을 미치는지에 대해서는 증명 없이 Hong and Kim(2021)과 Hong(2023)의 결과만을 간단히 언급하기로 한다. 일반적인 일변량 효용함수 하에서와는 달리 이변량 효용함수 하에서 식 (19)가 만족되면 개인은 건강이 악화될수록 자가보험(self-insurance)에 관한 수요를 증가시킨다. 즉 건강손실의 크기를 줄이기 위해 더 많은 투자를 하기 위해서는 효용함수가 건강에 대해 DARA의 선호를 나타내지 않더라도 개인이 상관성보다 위험을 더 싫어하면 된다는 것이다. 이때 자가보험과 시장보험은 이변량 효용함수 하에서도 서로 대체될 수 있으므로 이는 식 (19)를 만족할 때 개인이 건강 악화에 따라 더 많은 보험을 구입하게 된다.
4. 위험자산에 대한 수요
4.1 벤치마크 모형: 일변량 효용함수 모형
건강의 변화가 위험자산의 투자에 미치는 영향을 알아보기 위해 다음과 같은 간단한 모형을 고려하기로 한다. 이때 β는 위험자산에 대한 투자 비중이고 y는 위험자산의 투자수익률이라 가정하기로 한다. 이때 개인의 목적함수와 1계조건은6) 다음과 같다.
위의 식(21) 을 만족하는 위험자산에 대한 최적 투자비중을 β*로 나타내기로 하자. 이때 건강이 금전적 자산으로 간주될 경우 건강의 변화에 대한 위험자산 투자비중의 변화를 알아보기 위해 다음과 같은 비교정학분석을 고려한다.
(22)
앞선 절과 마찬가지로 자산에 대한 DARA를 가정할 경우 − u ′ ′ ( W + β * y ) u ′ ( W + β * y )
이 조건은 − u ′ ′ ( W + β * y ) u ′ ( W + β * y ) β * y < 1 − u ′ ′ ( W + β * y ) u ′ ( W + β * y ) β * y > 1
참고로 자산에 대해 CARA형태를 가정할 경우 − u ′ ′ ( W + β * y ) u ′ ( W + β * y )
이제 보험모형과 유사하게 자산의 수익률 위험과는 서로 독립인 배경위험이 존재한다고 가정한다. 또한 이러한 배경위험 δ의 평균은 음이라고 가정한다. 즉 Eδ < 0이다. 이때의 결과는 이미 잘 알려져 있으므로 간략히 모형을 통해 기술한다.
식 (24)에서 역시 효용함수를 v = Eδu(W+δ+βy)라 정의하고, 효용함수가 위험취약성을 만족할 경우 일변량 효용함수 하에서 보험수요 모형과 같이 개인은 배경위험으로 인해 더 위험회피적으로 변한다.
한편 위험회피성향의 증가에 따라 개인의 위험자산에 대한 수요가 감소하는 지 여부를 살펴보기 위해 오목한 함수변환 k(.)를 통해 t(W) = k(u(W))효용함수 하에서 위험자산의 수요를 관찰하기로 한다. 이러한 효용함수 하에서 최적보험수요를 구하기 위한 1계조건은 다음과 같다.
따라서 β = β*에서 E[k’(u(W+β*y))u’(W+β*y)y]≤0이면 위험회피성향의 증가로 인해 위험자산의 수요가 감소한다. 즉 cov(k’(u(W+β*y)),u’(W+β*y)y)<0이어야 하는데, 이는 함수 k(.)의 오목성으로 인해 − u ′ ′ ( W + β * y ) u ′ ( W + β * y ) β * y < 1
(결과 2) 일변량 효용함수 하에서 절대위험회피성향이 자산의 증가에 따라 감소하는 경우 위험자산의 수요변화는 다음과 같다.
(1) (a) − u ′ ′ ( W + β * y ) u ′ ( W + β * y ) β * y < 1 − u ′ ′ ( W + β * y ) u ′ ( W + β * y ) β * y > 1
(2) 효용함수가 위험에 취약하고 − u ′ ′ ( W + β * y ) u ′ ( W + β * y ) β * y < 1
4.2 이변량 효용함수 모형
이러한 문제를 해결하기 위해 이제 다음과 같이 이변량 효용함수를 고려하기로 한다. 이변량 효용함수를 고려할 때 목적함수와 1계조건은7) 다음과 같다.
이러한 식 (27)을 만족하는 최적 β를 β**로 나타내기로 한다. 역시 건강의 변화가 위험자산의 투자비중에 미치는 영향을 살펴보기 위해 다음 비교정학식을 고려한다.
(28)
한편 Hong(2023)은 이에 추가하여 절대상관선호성향(absolute correlation loving, ACL) 역시 정의하고 있는데 이는 앞선 절대상관회피성향과는 달리 부와 건강 간의 보완성 정도(complementarity)를 재는 척도라 할 수 있다. 이때 절대상관회피도(절대상관선호도)는 다음과 같다.
먼저 개인이 상관회피적인 경우를 가정하자. 만약 − u 11 ( W + β * * y , H ) u 1 ( W + β * * y , H ) β * * y < 1
한편 개인이 상관선호적인 경우를 가정하자. 만약 − u 11 ( W + β * * y , H ) u 1 ( W + β * * y , H ) β * * y > 1
반대의 경우 ( − u 11 ( W + β * * y , H ) u 1 ( W + β * * y , H ) β * * y < 1 )
현재 이러한 절대상관선호도에 대해서는 연구가 거의 이루어져있지 않다. Hong(2023)이 절대상관선호도가 부의 증가에 대해 감소하는 경우 손실확률을 줄이기 위한 투자와 보험이 서로 대체관계에 있을 수 있음을 이론적으로 제시한 바 있으나, 실증적으로 이러한 척도가 부에 대해 증가 또는 감소하는지 여부는 연구된 바 없다. 만약 절대상관선호도가 부에 대해 감소하는 형태를 가진다면, 이 경우 건강의 감소가 위험자산에 대한 투자를 감소시키기 위해서는 − u 11 ( W + β * * y , H ) u 1 ( W + β * * y , H ) β * * y > 1
한편 절대상관회피도에 대해서는 식 (30)이 일부 연구에서 언급되고 있는데, Crainich, Eeckhoudt, and Courtois(2017)과 Hong(2023)은 건강에 관해 감소하는 절대상관회피도가 건강이 증가함에 따라 부에 대한 절대위험회피성향이 감소하는 것과 같은 조건임을 지적한 바 있다. 즉 건강에 대해 cross-DARA 인 경우 식 (30)이 성립하며, 이는 건강이 감소하면 위험회피성향이 증가하여 위험자산에 대한 투자를 줄일 수 있다는 것이다. 이러한 결과는 다음의 [정리 3]으로 요약된다.
[정리 3] 이변량 효용함수 하에서 건강의 변화는 위험자산의 수요에 개인의 상관성에 대한 선호에 따라 다음과 같은 영향을 미친다.
(1) 상관선호적인 개인에 대해 다음이 성립한다.
(a) 개인의 절대상관선호도가 부에 대해 감소하고, − u 11 ( W + β * * y , H ) u 1 ( W + β * * y , H ) β * * y > 1
(b) 개인의 절대상관선호도가 부에 대해 증가하고, − u 11 ( W + β * * y , H ) u 1 ( W + β * * y , H ) β * * y < 1
(2) 상관회피적인 개인에 대해, 개인의 절대상관회피도가 부에 대해 감소하고, − u 11 ( W + β * * y , H ) u 1 ( W + β * * y , H ) β * * y < 1
(증명) 본문 참고.
이러한 [정리 3]은 Crainich, Eeckhoudt, and Courtois(2017)의 조건과는 차이를 갖는다. Crainich, Eeckhoudt, and Courtois(2017)는 건강의 악화로 인해 개인이 위험자산에 대한 투자를 줄이기 위해서는 개인이 상관회피적이고 식 (30)을 만족하면, 즉 효용함수가 건강에 대해 cross-DARA를 만족하면 된다는 조건을 도출하였으나 이는 개인의 부에 대한 절대위험회피도를 고려하지 않고 있다는 점에서 다소 오류가 있다고 할 수 있다.
또한 이러한 결과는 개인의 부에 관한 위험회피성향이 부가 증가함에 따라 증가하거나 불변하더라도 (즉 효용함수가 부에 대해 DARA 이거나 CARA) 성립한다. 건강의 악화로 인해 위험자산의 수요가 변화하는 것에는 상관회피도 또는 상관선호도가 영향을 미치는 것이므로 이러한 결과는 부에 관한 CARA형태의 효용함수를 가정하더라도 성립한다.
마지막으로 건강에 불리한 배경위험, 즉 불확실성이 존재할 경우 위험자산에 대한 투자의 변화를 살펴보기로 한다. 단 앞선 절들과 마찬가지로 배경위험의 평균은 음이라고 가정하기로 한다. 즉 Eδ1 < 0이다. 모형과 1계조건은 다음과 같다.
이때 건강에 대한 불리한 배경위험의 존재로 인해 위험자산에 대한 투자를 줄일 조건을 찾기 전에 Crainich, Eeckhoudt, and Courtois(2017)와의 비교를 위해 Eδ2 = 0인 경우에 대해 다음과 같은 조건을 고려하기로 한다.
만약 (34)와 같은 조건이 성립한다면, 개인은 건강에 불확실성이 존재할 경우 위험자산에 대한 투자를 감소시킨다. 이때 Eyu1(W+β*y,H+δ2)y가 δ2에 대해 볼록함수이면 젠슨의 부등식(Jensen’s inequality)에 의해 위의 식이 만족함을 알 수 있다. 즉 다음의 조건을 만족하면 식 (34)가 성립한다.
이때 첫 번째 조건은 건강이 증가할수록 위험자산에 대한 투자를 늘릴 조건과 같다. 한편 두 번째 조건은 다음과 같이 변형된다.
(37)
즉 이는 Ross의 관점에서 만약 − u 11 ( W + β * * y , H ) u 1 ( W + β * * y , H ) β * * y < 1 u 122 ( W + β * * y , H + δ 2 ) u 1 ( W + β * * y , H ) y d d y u 122 ( W + β * * y , H + δ 2 ) u 1 ( W + β * * y , H ) < 0
[보조정리 1] 이변량 효용함수 하에서 − u 11 ( W + β * * y , H ) u 1 ( W + β * * y , H ) β * * y < 1 d d y u 122 ( W + β * * y , H + δ 2 ) u 1 ( W + β * * y , H ) < 0
(증명) 본문 참고.
[보조정리 1]의 조건은 평균이 0인 배경위험의 존재로 인해 위험자산에 대한 수익률이 감소할 충분조건을 제시하고 있다. 한편 Crainich, Eeckhoudt, and Courtois(2017)는 평균이 0인 배경위험의 존재로 인해 위험자산에 대한 수익률이 감소할 필요충분조건으로 d d y u 122 ( W + β * y , H + δ 2 ) u 1 ( W + β * y , H ) < 0 d d y u 122 ( W + β * y , H ) u 1 ( W + β * y , H ) < 0
이때 Crainich, Eeckhoudt, and Courtois(2017)는 u 122 ( W + β * y , H ) u 1 ( W + β * y , H )
of cross prudence) 를 나타내는 척도라 정의하고 있다.
Eeckhoudt, Rey, and Schlesinger(2007)에 따르면 복수의 불행한 사건이 한 상태에 집중되는 것보다는 여러 상태에 나누어지는 것을 선호하는 (disaggreation of harms) 개인의 선호는 u12 < 0,u112 > 0,u122 >0및 u1122 <0로 나타난다는 것을 보인 바 있다. 이때 u112 >0(u122 >0)는 건강(부)에서 측정한 교차신중성(cross-prudence) 선호를 나타낸다. 이때 건강에 대해 교차신중한 개인은 평균이 0인 부에 대한 위험이 건강이 좋지 않은 상태에서 발생하는 것보다는 차라리 건강이 좋은 상태에서 발생하는 것을 선호한다. 반대로 부에 대해 교차신중한 개인은 평균이 0인 건강에 대한 위험이 가난한 상태에서 발생하는 것보다는 차라리 부유한 상태에서 발생하는 것이 낫다고 평가한다.
한편 Crainich, Eeckhoudt, and Courtois(2017)의 조건은 교차신중성도를 이용하여 필요충분 조건을 제시하고 있으나, 건강에 대한 위험이 존재하는 상황과 존재하지 않는 상황의 고계 미분값들을 비교하고 있다는 단점이 있다. 이는 위의 [보조정리 1] 역시 마찬가지이다.
이제 다시 원래의 문제로 돌아가 이변량 효용함수 하에서의 보험수요 모형과 유사하게 효용함수가 교차위험취약성을 만족한다고 가정하도록 하겠다. 이 경우 개인은 건강에 대한 배경위험의 존재로 인해 더 위험회피적으로 변하는데, 이러한 위험회피성향의 증가가 위험자산에 대한 수요를 감소시키는지를 살펴보기 위해 다음과 같이 오목한 함수 k(.)를 이용하여 더 위험회피적인 효용함수로의 변환을 시도한다. 이미 보험수요를 위한 모형에서 이러한 변환이 이변량 효용함수 하에서도 더 위험회피적인 선호를 나타낸다는 것을 살펴본 바 있다.
이러한 이변량 효용함수 하에서 위험자산에 관한 수요모형은 다음과 같다.
이제 식 (27)을 만족하는 β = β**에서 식 (40)의 부호가 음일 조건은 다음과 같다.
함수변환 k(.)이 오목한 함수이므로 식 (41)이 성립하기 위해서는 − u 11 ( W + β * * y , H ) u 1 ( W + β * * y , H ) β * * y < 1
[정리 4] 효용함수가 교차 위험에 취약하고 − u 11 ( W + β * * y , H ) u 1 ( W + β * * y , H ) β * * y < 1
(증명) 본문 참고.
5. 결론
본 연구는 건강의 변화가 개인의 위험에 대한 선호 및 개인의 의사결정에 미치는 영향을 살펴보고자 시도한다. 특히 최근 COVID-19로 인한 팬데믹과 이러한 팬데믹이 앞으로 더욱 빈번하게 일어날 수 있다는 우려에 따라 본 연구는 건강의 수준 변화 및 건강의 불확실성이라는 충격에 초점을 맞추고 있다. 건강 문제는 치료비의 발생으로 인한 소득의 감소 및 생산성 손실과 같은 직접적인 비용을 유발하는 것 외에도 위험 선호 변화를 통해 개인의 의사결정에 영향을 미칠 수 있다. 특히 건강 위험으로 인해 위험을 감수하려는 의지가 낮아지면 다양한 변화가 일어난다. 예를 들어, 다변량 위험 선호의 맥락에서 금융 영역을 고려할 때, 건강의 악화로 인해 위험자산에 대한 수요가 감소할 수 있으며, 반대로 보험에 대한 수요는 증가시킬 수도 있다.
이에 본 연구는 건강의 변화로 인해 개인의 소비에 대한 한계효용이 증가하거나 감소하는 이변량 효용함수를 이용하여 다음과 같은 결과를 제시하고 있다. 첫째, 이변량 효용함수 하에서 계리적으로 공정한 보험료 하에서도 개인의 보험 수요는 부분보험이 최적일 수 있으며, 반대로 불리한 보험료 하에서도 전부 또는 초과보험이 최적일 수 있다. 둘째, 효용함수가 건강에 대해 교차위험취약성(cross-risk vulnerability toward health)을 만족할 때, 손실과 독립적인 불리한 건강위험의 존재는 보험의 수요를 증가시킨다. 셋째, 이변량 효용함수 하에서 상관선호적인 개인은 개인의 절대상관선호도가 부에 대해 감소하고, 부에서의 절대위험회피도가 충분히 클 때, 건강의 악화는 위험자산에 대한 투자를 감소시킨다. 반면 상관회피적인 개인은 절대상관 회피도가 부에 대해 감소하고, 부에서의 절대위험회피도가 충분히 작을 때 건강의 악화로 인해 위험자산에 대한 투자를 감소시킨다. 넷째, 효용함수가 건강에 대해 교차위험취약성을 만족할 때, 수익률과 독립적인 불리한 건강위험의 존재는 위험자산에 대한 수요를 감소시킨다. 이러한 결과들은 미래 불확실한 건강 위험의 존재로 인해 보험에 대한 수요가 항상 증가하거나 위험자산에 대한 투자가 항상 감소하는 것은 아니며, 보험 수요의 증가나 위험자산에 대한 투자가 감소하기 위한 충분조건들을 보여주고 있다.
이러한 연구결과는 다음과 같이 확장될 수 있다. 첫째, 개인의 상관성에 대한 선호는 손실과 이득의 영역에서 서로 다른 형태를 가질 수 있다. 예를 들어 개인은 건강이 악화된 상황에서는 더 많은 금전적 자산을 원할 수도 있으며, 반대로 금전 손실이 높은 상황에서는 건강수준이 높은 것이 더 선호될 수 있다. 또한 개인은 부유한 상황에서는 건강의 수준도 높기를 바랄 수 있다. 즉 개인은 손실의 영역에서는 상관회피적이고 이득의 영역에서는 상관선호적일 수 있다. 둘째, 건강이 악화될수록 위험자산에 대한 수요가 감소하는 건강에 대한 cross-DARA 선호가 반대의 상황에서도 성립하는 지 여부에 대해서 검토할 필요가 있다. 예를 들어 부의 수준이 낮아질수록 또는 노동소득의 불확실성과 같이 부에 불확실성이 존재할 때 건강에 대해 더 위험회피적인 선호를 보이는 지, 또는 오히려 덜 위험회피적인 선호를 보이는지는 알려져 있지 않다. 이러한 반대의 상황은 저자가 아는 한 아직 연구된 바가 없다. 셋째, 일반적으로 정신의학 문헌에서는 우울증이 낙관주의 편향을 감소시킨다는 점을 지적하고 있다. 즉 일반인은 긍정적인 사건의 가능성을 과대평가하는 경향이 있는 반면, 우울증에 걸린 사람들은 과대평가의 빈도가 더 낮다는 점을 지적하고 있다(Sharot et al., 2007; Weinstein, 1989). 또한 무작위 실험을 통해 우울감이 높은 성인이 학습을 통해 저위험, 고수익을 가져다주는 복권을 더욱 잘 식별한다는 것을 발견한 연구도 존재한다(Smoski et al.,2008). 이러한 특성을 고려하여 행동경제학적 방법론에 의존하지 않고, 건강이 낮을수록 건강에 대해 DARA 선호를 보이는 개인이 재정적 위험 및 건강 위험을 덜 (또는 더) 감수하는지를 연구할 수도 있을 것이다.
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